Ecole Nationale des Sciences Appliquées Traitement du Signal Ecole Nationale de

Ecole Nationale des Sciences Appliquées Traitement du Signal Ecole Nationale des Sciences Appliquées -Kénitra Traitement du Signal Mr Moulay Taib El Belghiti Première année cycle ingénieur Traitement du Signal Mr Moulay Taib El Belghiti Première année cycle ingénieur 2 Plan I. Introduction…………………………………………………………….. II. Biographie ……………………………………………………………... 1. Laplace Pierre Simon……………………………………………………… 2. Fourier Charles …………………………………………………………….. III. Chapitre I : Les Distributions …………………………………………. IV. Chapitre II : Les Distribution tempérées………………………………. V. Chapitre III : Les Distribution dans ℝ………………………….. ……. VI. Chapitre I V : Développement des Distributions en série de Fourier….. VII. Conclusion…………………………………………………………………………. Introduction Les Distributions aussi appelées parfois « représentent une généralisation de la notion de fonction. La nécessité d’une telle extension est incontestable pour la physique, ces distributions correspondent à des situ sont présentées par l'expérience physique qui ne sont pas suffisamment traitées par la notion traditionnelle de la fonction. Prenant l’exemple de l’impulsion de Dirac notée est une fonction bien particulière, prend une « ailleurs, et dont l'intégrale sur événements ponctuels. En outre, cette fonction nommée aussi « limite d'un signal » (électrique, mécanique, magnétique…) qui n'existait que pendant un intervalle de temps très bref, à la limite nul, mais qui était capable de fournir une énergie à un système pour le mettre en action. Ce type de sign pouvaient être décrits par une fonction analytique classique et posaient un gros problème mathématique. Cela nous amène à poser cette question: Pourquoi créer toute une théorie pour faire face à une idée aussi simple que la fonction de Dirac Delta? Eh bien, tout d'abord, l'idée peut pas aussi simple qu'elle ne le paraît. Lorsque la même idée, sous des formes différentes, se reproduit encore et encore, il devrait y avoir une théorie sous instances ensemble. La théorie des distributions fut formalisée et construite en 1947 par le mathématicien français Laurent Schwartz et lui valut la Introduction istributions aussi appelées parfois « Fonctions généralisées » étant donné qu’elles représentent une généralisation de la notion de fonction. La nécessité d’une telle extension est incontestable pour la physique, ces distributions correspondent à des situ sont présentées par l'expérience physique qui ne sont pas suffisamment traitées par la notion traditionnelle de la fonction. Prenant l’exemple de l’impulsion de Dirac notée est une fonction bien particulière, prend une « valeur » infinie en 0, et la valeur zéro partout sur est égale à 1, elle sert en physique à décrire des événements ponctuels. En outre, cette fonction nommée aussi « impulsion limite d'un signal » (électrique, mécanique, magnétique…) qui n'existait que pendant un intervalle de temps très bref, à la limite nul, mais qui était capable de fournir une énergie à un système pour le mettre en action. Ce type de signaux parfois appelés percussionnels ne pouvaient être décrits par une fonction analytique classique et posaient un gros problème Cela nous amène à poser cette question: Pourquoi créer toute une théorie pour faire face à que la fonction de Dirac Delta? Eh bien, tout d'abord, l'idée peut pas aussi simple qu'elle ne le paraît. Lorsque la même idée, sous des formes différentes, se reproduit encore et encore, il devrait y avoir une théorie sous-jacente qui lie les différe La théorie des distributions fut formalisée et construite en 1947 par le mathématicien français et lui valut la médaille Fields en 1950. Son introduction utilise des notions 3 » étant donné qu’elles représentent une généralisation de la notion de fonction. La nécessité d’une telle extension est incontestable pour la physique, ces distributions correspondent à des situations qui nous sont présentées par l'expérience physique qui ne sont pas suffisamment traitées par la notion traditionnelle de la fonction. Prenant l’exemple de l’impulsion de Dirac notée δ(t), qui infinie en 0, et la valeur zéro partout est égale à 1, elle sert en physique à décrire des impulsion » constitue le cas limite d'un signal » (électrique, mécanique, magnétique…) qui n'existait que pendant un intervalle de temps très bref, à la limite nul, mais qui était capable de fournir une énergie à aux parfois appelés percussionnels ne pouvaient être décrits par une fonction analytique classique et posaient un gros problème Cela nous amène à poser cette question: Pourquoi créer toute une théorie pour faire face à que la fonction de Dirac Delta? Eh bien, tout d'abord, l'idée peut-être pas aussi simple qu'elle ne le paraît. Lorsque la même idée, sous des formes différentes, se jacente qui lie les différentes La théorie des distributions fut formalisée et construite en 1947 par le mathématicien français . Son introduction utilise des notions 4 d'algèbre linéaire et de topologie centrées autour de l'idée de dualité. Il faut chercher l'origine de cette théorie dans le calcul symbolique d'Heaviside (1894) et dans l'introduction par les physiciens de la « fonction de Dirac » (1926). L'objectif a été alors de généraliser la notion de fonction, afin de donner un sens mathématique correct à des objets manipulés par les physiciens. Il fallait en plus garder la possibilité de faire des opérations telles que des dérivations, convolutions, transformées de Fourier ou de Laplace. Le travail des mathématiciens sur ce sujet à aboutit à proposer la théorie des distributions. Nous pouvons la considérer comme une généralisation de la notion de fonction qui permettra d’englober l’impulsion mais aussi un certain nombre d’autres fonctions généralisées (Heaviside , valeur principale, ….) et elle amène à une définition nouvelle et généralisée de la dérivation. Cette théorie à ensuite été systématiquement utilisée dans le domaine du numérique ou plutôt des signaux discrets. Dans ce domaine, l'impulsion devient un objet mathématique en soit, permettant de modéliser les signaux. Laurent Schwartz a inventé l'outillage adéquat pour décrire rigoureusement ce genre d'objets. ( à suivre !) 5 Biographie 1. Laplace Pierre Simon Ce grand savant français, né en Normandie à Beaumont en Auge, a profondément influencé les mathématiques, l'astronomie, la physique et la philosophie des sciences de son siècle. Après des études brillantes à l'Université de Caen de 16 à 18 ans, il obtient avec le soutien de d'Alembert un poste à l'Ecole militaire. Ses travaux en mathématiques et astronomie lui valent d'entrer à 24 ans à l'Académie des Sciences, où l'étendue de son savoir fait impression. Son travail vers 1782 avec Lavoisier sur la calorimétrie, sa théorie de la capillarité et ses formules d'électromagnétisme ancrent sa réputation parmi les chimistes et physiciens. L'essentiel de son œuvre scientifique s'attache à fournir un fondement solide à sa théorie de mécanique céleste, traitant de la stabilité du système solaire, de son origine, et qui motivera en partie sa théorie des probabilités. Il participa à l'organisation de l'Ecole Polytechnique et de l'Ecole Normale. Il fonda avec Berthollet la Société d'Arcueil, creuset de rencontre entre jeunes physiciens et chimistes éminents et scientifiques proches du pouvoir. Mathématiques : Les outils inventés par Laplace sont aujourd'hui des objets de recherche mathématique. On en étudie des généralisations (opérateurs dans des algèbres de Lie), on teste des algorithmes de calcul toujours plus rapides. Ils sont également utilisés intensivement dans beaucoup de domaines des mathématiques, comme les méthodes de maillage ou la théorie des nombres (par exemple la distribution des nombres premiers), ce qui aurait peut être étonné Laplace. Ses études sur la capillarité sont liées à la théorie aujourd'hui en vogue des surfaces minimales 6 Equations différentielles et aux différences finies : De très nombreux travaux de Laplace concernent la résolution d'équations différentielles, certaines provenant de ses recherches en astronomie, électromagnétisme, capillarité, etc. Transformation de Laplace : Pour résoudre certaines équations différentielles, Laplace o proposé une méthode utilisant des formules intégrales ramenant parfois un problème d'équation différentielle à des équations algébriques, plus faciles à résoudre. Pour en savoir plus voir ici un petit résumé en français, un autre plus technique en anglais et un site plus développé en français sur les transformations de Stieljes-Laplace et leurs applications en théorie des nombres. méthode d'approximation : Le terme de méthode d'approximation de Laplace recouvre deux choses : une méthode de résolution d'équations différentielles par approximations successives, et une méthode d'approximation asymptotique de certaines intégrales. Pour en savoir plus sur ce dernier point, cliquer ici. Constante limite de Laplace : Ce nombre Lambda=0,662743... est lié à l'équation de Kepler M=E - u sin(E), décrivant l'orbite des planètes. C'est la valeur limite de convergence de la solution E de cette équation comme série en u. Pour en savoir plus, consultez ce site détaillé. Déterminants : Lors de l'étude d'équations différentielles linéaires, Laplace a donné en 1772 une formule de calcul des déterminants par le développement, en termes de mineurs, qui porte son nom. 1. Charles Fourier 7 (biographie …) 8 CHAPITRE 1 Les distributions I. Définition : (manque !!) II. Opérations sur les distributions : 1) Produit de distribution par fonction  : Soit T∈′( ) , g∈ ( ) .On définit le produit gT comme suit : <gT,> :=<T,g > Ceci a bien un sens car  est à support compact g est  . Alors g  est à support compact et est ce qui ie g  ∈( ). • En particulier : T est définie par une uploads/Philosophie/ analyse-mathematique 3 .pdf

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