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Algèbre 1 "Rappel de cours & exercices corrigés" 1 année LMD Mathématiques et I

Algèbre 1 "Rappel de cours & exercices corrigés" 1 année LMD Mathématiques et Informatique Mohamed Mamchaoui Mohamed Mamchaoui UNIVERSITÉ ABOU BEKR BELKAID, FACULTÉ DES SCIENCES, DÉPARTEMENT DE MA- THÉMATIQUES BP.119 TLEMCEN 13000, ALGÉRIE E-mail : mohamed.mamchaoui@univ-tlemcen.dz. Page web : https ://sites.google.com/view/mamcha/accueil. c ⃝Mamcha Table des Matières 0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 Logique et raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1 Langage logique 7 1.1.1 Proposition logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 L’implication ⇒. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.5 L’équivalence ⇔. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.6 Quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.7 La négation des quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Raisonnements mathématiques 9 1.2.1 Par contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Par contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.4 Par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Exercices avec solutions 10 2 Ensembles et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1 Ensembles 15 2.1.1 Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.3 Complémentaire d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.4 Union . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.5 Intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.6 Différence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.7 Différence symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Les applications 16 2.2.1 Image directe, image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.2 Injectivité, surjectivité, bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.3 Composition de deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Relations binaires 18 2.3.1 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3.2 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Exercices avec solutions 19 3 Structures algébriques de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1 Loi de composition interne 26 3.2 Notion de groupe 26 3.2.1 Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.2 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.3 Noyau et image . . . . . . . . . . . . uploads/Philosophie/ cours-algebre1-et-exercices-corriges 1 .pdf