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1. RELATIONS BINAIRES Le concept de "relation" est la base de toute la mathémat

1. RELATIONS BINAIRES Le concept de "relation" est la base de toute la mathématique dont le but est d'étudier - par observation et déduction (raisonnement), calcul et comparaison - des configurations ou relations abstraites ou concrètes de ses objets (nombres, formes, structures) en cherchant à établir les liens logiques, numériques ou conceptuels entre ces objets. Définitions: D1. Considérons deux ensembles non vides E et F (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles) non nécessairement identiques. Si à certains éléments x de E nous pouvons associer par une règle mathématique précise R (non ambiguë) un élément y de F, nous définissons ainsi une "relation fonctionnelle" de E vers F et qui s'écrit: (3.1) Ainsi, de façon plus générale, une relation fonctionnelle R peut être définie comme une règle mathématique qui associe à certains éléments x de E, certains éléments y de F. Alors, dans ce contexte plus général, si xRy, nous disons que y est une "image" de x par R et que x est un "antécédent" ou "pré-image" de y. L'ensemble des couples (x, y) tel que xRy soit une assertion vraie forme un "graphe" ou une "représentation" de la relation R. Nous pouvons représenter ces couples dans un repère adéquatement choisi pour faire une représentation graphique de la relation R. Il s'agit d'un type de relations sur lequel nous reviendrons dans le chapitre d'Analyse Fonctionnelle et qui ne nous intéresse pas directement dans ce chapitre D2. Considérons un ensemble A non vide, si nous associons à cet ensemble (et à celui-ci uniquement!) des outils permettant de comparer les éléments le composant alors nous parlons de "relation binaire" ou "relation de comparaison" et qui s'écrit pour tout élément x et y composant A: xRy (3.2) Ces relations peuvent aussi être représentées sous forme graphique. Dans le cas des opérateurs binaires classiques de comparaisons où A est l'ensemble des nombres naturels, relatifs, rationnels ou réels, cette forme graphique est représentée par une droite horizontale (le plus souvent...) dans le cas de la congruence (cf. chapitre de Théorie des Nombres) elle est représentée par des droites dans le plan dont les points sont donnés par la contrainte de la congruence. Comme nous l'avons déjà dit, il existe 6 relations binaires fondamentales (égal, différent de, plus grand que, plus petit que, plus grand ou égal, plus petit ou égal). Mais nous verrons un peu plus loin que la définition rigoureuse des relations binaires permet donc de construire des outils plus abstraits (comme par exemple la congruence bien connue par les élèves de petites classes et que nous étudierons dans le chapitre de Théorie des Nombres). 1.1. ÉGALITÉS Il est fort difficile de définir la notion "d'égalité" dans un cas général applicable à toute situation. Pour notre part, nous nous permettrons pour cette définition de nous inspirer du théorème d'extensionalité de la théorie des ensembles (que nous verrons plus tard): Définitions: D1. Deux éléments sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes valeurs. L'égalité est décrite par le symbole = qui signifie "égal à". Propriété (triviale) : Si nous avons , et c un nombre et une opération quelconque (tel que l'addition, la soustraction, la multiplication ou la division) alors : (3.3) Cette propriété est très utilisée pour résoudre ou simplifier des équations de type quelconque. D2. Si deux éléments ne sont pas égaux (donc sont inégaux...), nous les relions par le symbole et nous disons qu'ils sont "non égaux" Il existe encore d'autres symboles d'égalités, qui sont une extension des deux que nous avons définis précédemment. Malheureusement, ils sont assez souvent mal utilisés (disons plutôt qu'ils sont utilisés aux mauvais endroits) dans la plupart des ouvrages disponibles sur le marché : (3.4) qui correspondent dans l'ordre à : presque égal (plutôt utilisé en ingénierie), asymptotiquement égal à (utilisé en analyse fonctionnelle), approximativement égal (utilisé en physique lors d'approximation de séries), identique à (utilisé aussi bien en analyse fonctionnelle qu'en physique), tend vers la limite (idem) et enfin proportionnel à (utilisé en physique ou en mathématiques financières). 1.2. COMPARATEURS Les comparateurs sont des outils qui nous permettent de comparer et d'ordonner tout couple de nombres (et in extenso aussi des ensembles!). La possibilité d'ordonner des nombres est presque fondamentale en mathématique. Dans le cas contraire (s'il n'était pas possible ou non imposé d'ordonner), il y aurait des tas de choses qui choqueraient nos habitudes, par exemple (certains des concepts présentés dans la phrase qui suit n'ont pas encore été vus mais nous souhaitons quand même y faire référence) : plus de fonctions monotones (en particulier de suites) et lié à cela la dérivation n'indiquerait donc rien sur un "sens de variation", plus d'approche de zéros d'un polynôme par dichotomie (algorithme classique de recherche dans un ensemble ordonné partagé en deux à chaque itération), en géométrie, plus de segments ni de demi-droites, plus de demi-espace, plus de convexité, nous ne pouvons plus orienter l'espace, etc. C'est donc important de pouvoir ordonner les choses comme vous l'aurez compris. Ainsi, pour tout nous écrivons lorsque a est plus grand ou égal à b : (3.5) et lorsque a est plus petit ou égal à b : (3.6) Remarque: Il est utile de rappeler que l'ensemble des réels est un groupe totalement ordonné (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles), sans quoi nous ne pourrions pas définir des relations d'ordre entre ces éléments (ce qui n'est pas le cas des nombres complexes que nous ne pouvons pas ordonner!). Définition: Le symbole est une "relation d'ordre" (voir la définition rigoureuse plus bas!) qui signifie "plus petit que" et inversement le symbole est aussi une relation d'ordre qui signifie "plus grand que". Nous avons également concernant la relation de comparaison stricte (qui n'appartient pas à la famille des relations d'ordre pour des raisons que nous préciserons plus loin) les propriétés suivantes qui sont relativement intuitives: et (3.7) implique (ultérieurement noté " ") que : (3.8) Si : et (3.9) Si : et (3.10) inversement : et (3.11) Nous avons aussi : (3.12) et inversement : (3.13) Nous pouvons bien évidemment multiplier, diviser, additionner ou soustraire un terme de chaque côté de la relation telle que celle-ci soit toujours vraie. Petite remarque cependant, si vous multipliez les deux membres par un nombre négatif il faudra bien évidemment changer le comparateur tel que si : (3.14) et inversement: (3.15) Nous avons aussi: (3.16) Soit : (3.17) Si p est un nombre entier pair alors : (3.18) sinon si p est impair: (3.19) Ce résultat provient simplement de la multiplication des signes puisque la puissance lorsqu'elle est non fractionnaire n'est qu'une multiplication. Finalement : (3.20) Les relations d'ordre : (3.21) correspondent donc respectivement à : (strictement) plus grand que, (strictement) plus petit que, plus petit ou égal à, plus grand ou égal à, beaucoup plus grand que et enfin beaucoup plus petit que. Les relations d'ordre peuvent être définies de façon un peu plus subtile et rigoureuse et abstraite et ne s'appliquent pas seulement aux comparateurs (voir par exemple la relation de congruence dans le chapitre de Théorie Des Nombres)! Voyons cela de suite (le vocabulaire qui va suivre est aussi défini dans le chapitre de Théorie Des Ensembles) : Définition: Soit une relation binaire R d'un ensemble A vers lui-même, une relation R dans A est un sous-ensemble du produit cartésien (c'est-à-dire que la relation binaire engendre un sous-ensemble de par les contraintes qu'elle impose aux éléments de A qui satisfont la relation) avec la propriété d'être: P1. Une "relation réflexive" si : (3.22) P2. Une "relation symétrique" si : (3.23) P3. Une "relation antisymétrique" si : (3.24) P4. Une "relation transitive" si : (3.25) P5. Une "relation connexe" si : (3.26) Les mathématiciens ont donné des noms particuliers aux familles de relations satisfaisant certaines de ces propriétés. Définitions: D1. Une relation est appelée "relation d'ordre stricte" si et seulement si elle est uniquement transitive (certains spécifient alors qu'elle est donc forcément antiréflexive mais on s'en doute...). D2. Une relation est appelée un "pré-ordre" si et seulement si elle y est réflexive et transitive. D3. Une relation est appelée "une relation d'équivalence" si et seulement si elle y est réflexive, symétrique et transitive. D4. Une relation est appelée "relation d'ordre" si et seulement si elle y est réflexive, transitive et antisymétrique. D5. Une relation est appelée "relation d'ordre total" si et seulement si elle y est réflexive, transitive, connexe et antisymétrique. Pour les autres combinaisons il semblerait (?) qu'il n'y ait pas de désignations particulières chez les mathématiciens... Remarque: Les relations d'ordre binaire ont toutes des propriétés similaires dans les ensembles naturels, rationnels, relatifs et réels (il n'y a pas de relation d'ordre naturelle sur l'ensemble des nombres complexes). Si nous résumons : Relation binaire réflexive oui non non non oui oui symétrique oui oui non non non non transitive oui non oui oui oui oui connexe non non non non oui oui antisymétrique oui non non non oui oui Tableau: 3.1 - Types de relations binaires Ainsi, nous voyons que les relations binaires forment avec les ensembles précités, des relations d'ordre uploads/Philosophie/ relation-binaire.pdf