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Notions élémentaires d’algèbre et de trigonométrie 1MRenf Jean-Philippe Javet L

Notions élémentaires d’algèbre et de trigonométrie 1MRenf Jean-Philippe Javet La tablette d’argile, nommée Plimpton 322, est une pièce archéologique babylonienne (env. 1800 ans av. J.-C.) écrite en cunéiforme et traitant de mathématiques. Cette tablette comporte un tableau de nombres rangés sur 15 lignes par quatre colonnes. Il semble être une liste de triplets pythagoriciens, c’est-à-dire de nombres entiers vérifiant la relation de Pythagore a2 + b2 = c2, comme par exemple (3,4,5). http://www.javmath.ch Table des matières 0 Quelques éléments de logique (et de th. des ensembles) 1 0.1 Introduction, un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0.2 Notion de proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.3 Opérations logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.4 Les quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 0.5 Les objets du raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0.6 Les méthodes de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0.7 Les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0.7.1 Relations et Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1 Fonctions du 1er degré 33 1.1 Fonctions linéaires et affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.2 Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.3 Inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.4 Quelques applications (1re partie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.5 Fonctions définies par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.6 Quelques applications (2e partie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2 Fonctions du 2e degré 51 2.1 Paraboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2 Équations du 2e degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.1 Factorisation par produits remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.2 Factorisation du trinôme unitaire (par Somme-Produit) . . . . . . . . . . . . 57 2.2.3 Factorisation du trinôme non unitaire (par Tâtonnement) . . . . . . . . . . . 58 2.2.4 Factorisation du trinôme (méthode Compléter le carré) . . . . . . . . . . . . 59 2.2.5 Factorisation à l’aide de la formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.3 Inéquations du 2e degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.4 Équations du 2e degré “maquillées” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.4.1 Équations bicarrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.4.2 Équations avec des racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.5 Quelques applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 I 3 Fonctions polynomiales 73 3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2 Fonctions du 3e degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3 Équations du 3e degré et plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.3.1 Résolution par factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.3.2 Résolution par produits remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3.3 Résolution par division de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.4 Tableau de signes et inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4 Fonctions rationnelles 89 4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2 Les fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2.1 Simplification de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2.2 Multiplication et division de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.2.3 Addition et soustraction de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.3 Équations rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.4 Inéquations rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Philosophie/ 1mre-notion-elem.pdf