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Université Mohammed V Faculté des sciences juridiques, économiques et sociales

Université Mohammed V Faculté des sciences juridiques, économiques et sociales de Rabat-Agdal Analyse mathématique Nizar RIANE 2020-2021 Ce cours reproduit en partie les notes de cours de Frédérique Petit [1] de l'Université Pierre et Marie Curie. 2 Table des matières 1 Rappels 5 1.1 Introduction au langage mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Vocabulaire mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Raisonnement mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Les fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Fonctions logarithme et exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 Fonctions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Intervalles, voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Les intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Étude locale d'une fonction 15 2.1 Généralités sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Domaine de dé nition, graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Méthode de dé nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.3 Majorations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.4 Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.5 Fonctions paires et impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.6 Fonctions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.1 Limite en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2 Opérations algébriques et composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.3 Limite et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.4 Limites à gauche et à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1 Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.2 Propriétés algébriques et composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.3 Continuité à gauche et à droite* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.1 Dérivabilité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.2 Opérations algébriques et composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.3 Dérivabilité à gauche et à droite* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.4 Règle de l'Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.5 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.6 Extremum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5.1 Dé nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5.2 Opérations algébriques et composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.3 Développement limité à gauche et à droite* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 3 Étude globale d'une fonction 33 3.1 Fonction continue sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Philosophie/ analyse-mathematique-g-d-amp-e-nizar-riane-2020-pdf.pdf