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Driss Boularas Daniel Fredon Daniel Petit Mathématiques pour les sciences de la

Driss Boularas Daniel Fredon Daniel Petit Mathématiques pour les sciences de la vie et de l’environnement Driss Boularas Maître de conférences en mathématiques à l’université de Limoges. Daniel Fredon Ancien maître de conférences en mathématiques à l’université de Limoges. Daniel Petit Maître de conférences en biologie des populations à l’université de Limoges. Cours + Exos corrigés © Dunod, Paris, 2009 ISBN 978-2-10-054271-0 Table des matières 1 Fonctions d’une variable réelle 3 1.1 Fonctions usuelles 3 1.2 Limites et dérivées 6 1.3 Modéliser un phénomène biologique par une fonction 10 1.4 Courbes paramétrées du plan 12 Vitesses de croissance 17 Mots clés 17 Exercices 17 Solutions 22 2 Équations différentielles 33 2.1 Un outil : le calcul de primitives 33 2.2 Généralités sur les équations différentielles 34 2.3 Équations différentielles du premier ordre 35 2.4 Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants 39 Obtenir une équation différentielleà partir d’observations 40 Mots clés 40 Exercices 41 Solutions 45 3 Suites réelles 58 3.1 Généralités 58 3.2 Suites récurrentes d’ordre 1 du type un+1 = f(un) 61 3.3 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 63 Suites arithmétiques et suites géométriques dans l’histoire 64 Mots clés 65 Exercices 65 Solutions 66 4 Fondements du calcul matriciel 74 4.1 Espaces vectoriels usuels 74 4.2 Matrices 76 4.3 Déterminants 82 Les matrices de fabrication (pour comprendre le produit de matrices) 86 IV Les sciences de la vie et de l’environnement Mots clés 87 Exercices 87 Solutions 91 5 Réduction des matrices 101 5.1 Valeurs propres et vecteurs propres 102 5.2 Matrices diagonalisables 103 5.3 Retour aux matrices de Leslie 104 5.4 Systèmes différentiels linéaires 110 Équations aux différences finies 113 Mots clés 113 Exercices 114 Solutions 117 6 Fonctions de plusieurs variables 133 6.1 Motivations et exemples biologiques 133 6.2 Fonctions de deux variables réelles 134 6.3 Différentielle 136 6.4 Gradient et applications 137 6.5 Optimisation d’une fonction de deux variables 140 Exemple de courbes de niveau en biologie 144 Mots clés 144 Exercices 145 Solutions 147 7 Systèmes différentiels 155 7.1 Définitions et premiers exemples 155 7.2 Représentation des trajectoires des systèmes linéaires homogènes constants 2 × 2 160 7.3 Modèles biologiques de systèmes dynamiques 166 7.4 Éléments de la théorie de la stabilité 169 La théorie du chaos et l’attracteur de Lorenz (1917-2008) 172 Mots clés 175 Exercices 175 Solutions 177 Glossaire 183 Index 187 Avant-propos Parmi les nombreux outils (informatique, chimie, statistiques …) dont dispose la biologie pour étudier le vivant, celui des mathématiques devient chaque jour plus important. Cela s’explique par la complexité des phénomènes observés et l’irruption de nouveaux domaines d’étude comme l’écologie, la biologie moléculaire, la climatologie, la dynamique des populations … Ils nécessitent tous des méthodes très élaborées de quantification et d’inter- prétation des résultats. Beaucoup de ces méthodes n’ont d’ailleurs été intro- duites qu’au siècle dernier. À côté des caractères de description ou de classification des entités vivantes, la biologie contemporaine s'intéresse à leur naissance ou émergence, leur croissance ou évolution, leur extinction ou disparition. Pour conduire ces études, divers modèles mathématiques, plus ou moins fiables, ont été élaborés. Les plus célèbres sont les modèles prédateur-proie ou les matrices de Leslie. Généralement, ces modèles se répartissent en deux catégories, ceux que l’on qualifie de discrets et qui font appel à la combinatoire, aux suites … et ceux que l’on qualifie de continus et qui utilisent des fonctions d’une ou plusieurs variables réelles, des équations et systèmes différentiels … Ce livre est issu d’un enseignement transversal mathématiques-biologie de la licence de biologie de l’Université de Limoges. Il comporte – les exposés des contenus mathématiques choisis, – des exemples provenant des sciences de la vie, – les modèles les plus utilisés, – et, bien sûr, des exercices corrigés, certains pour vous entraîner, d’autres pour étudier des situations issues de la biologie. Nous espérons que ce livre sera un outil efficace pour vous aider dans votre travail, qui doit être bien réel et pas seulement modélisé! Toutes vos remarques, vos commentaires, vos critiques, et même vos encouragements, seront accueillis avec plaisir. daniel.fredon@laposte.net driss.boularas@unilim.fr daniel.petit@unilim.fr 2 Chimie des Solutions 1 Fonctions d’une variable réelle 1.1 FONCTIONS USUELLES 1.1.1 Introduction La biologie ne s’intéresse pas seulement aux descriptions et classifi- cations des différents organismes ; mais aussi aux dépendances entre les différentes propriétés de ces organismes. Ces dépendances peuvent être qualitatives (couleur, sexe, état solide, liquide ou gazeux) ou quantitatives. À la base des dépendances quantitatives, se trouvent les fonctions. De façon générale, une fonction est la donnée de deux ensembles A et B (non vides) et d’une relation f, qui à tout élément x de A, associe un et un seul élément, noté f(x), de B. Les éléments de A sont appelés des objets, antécédents ou variables et ceux de B, des images ou valeurs de f. PLAN 1.1 Fonctions usuelles 1.2 Limites et dérivées 1.3 Modéliser un phénomène biologique par une fonction 1.4 Étude de quelques situations biologiques 1.5 Courbes paramétrées du plan OBJECTIFS ➤Décrire un phénomène par une fonction (observation en continu). ➤Revoir les fonctions les plus utilisées en biologie. ➤Savoir calculer, utiliser et interpréter une dérivée. ➤Étudier divers éléments d’une courbe (tangentes, extrémums, branches infinies). ➤Savoir construire une courbe paramétrée. 4 Chapitre 1 • Fonctions d’une variable réelle Notations : f : ou, lorsque A et B sont sous-entendus, . Dans la première partie, nous nous intéresserons exclusivement aux fonctions réelles de variable réelle, c’est-à-dire à celles dont la variable x et l’image f(x) sont des nombres réels. Nous en rappellons ici les plus importantes. 1.1.2 Fonctions polynomiales Elles sont définies sur R par une expression de la forme : avec . où sont des nombres fixés. Le nombre entier p est appelé degré de la fonction polynomiale f. Les représentations graphiques des fonctions polynomiales de degré 2 sont des paraboles. 1.1.3 Valeur absolue Il s’agit de la fonction qui à tout réel x associe le nombre, noté , défini par : . Ainsi, par exemple, la fonction prend la valeur : . 1.1.4 Fonctions rationnelles Elles sont de la forme où les fonctions f et g sont polyno- miales. Le domaine de définition d’une telle fonction est l’ensemble des x tels que . Par exemple, les fonctions rationnelles définies par : , , sont définies respectivement sur R, et . A B → x f x ( ) → → = + + + + 2 0 1 2 ( ) p p f x a a x a x a x " ≠0 p a , , , 0 1 p a a … a x = = − si 0 et si 0 x x x x x x −1 x x 6 − = − − = − − = −+ 1 1 si 1 et 1 ( 1) 1 si 1 x x x x x x x x f x ( ) g x ( ) - - - - - - - - - - → → ≠ ( ) 0 g x − + 2 2 1 1 x x + − + 2 2 2 3 1 x x x 2 − − + 2 2 1 2 1 x x x , 5{ 1 2} \ 5{ 1 } \ 1.1 • Fonctions usuelles 5 1.1.5 Fonctions exponentielles et logarithmiques • Fonction logarithme népérien La fonction logarithme népérien est notée ln. Elle est définie sur par : Cette fonction est strictement croissante et L’unique solution de l’équation ln x = 1 est notée e ( ). En outre, la fonction logarithme népérien vérifie les propriétés suivantes : . • Fonction exponentielle C’est la fonction réciproque de la fonction ln. Elle est notée exp, ou . Elle est définie sur R, à valeurs dans ]0, +∞[ et vérifie les ;+∞ ]0 [ = ; ∀> = ⋅ ′ ln1 0 1 0 (ln ) x x x { + →0 lim x + = −∞; ln x →+∞ liml x ∞ = +∞. ln x ≈, e 2 718 ∀> ∀> ∀∈ 0 0 a b r _ = + ; = − ; = ln( ) ln ln ln ln ln ln( ) ln r a ab a b a b a r a b ( ) Figure 1.1 Fonction logarithme népérien. Figure 1.2 Fonction exponentielle. x ex → 6 Chapitre 1 • Fonctions d’une variable réelle propriétés suivantes : ; ; . La fonction exponentielle est strictement croissante. • Logarithme de base a La fonction logarithme de base a (a > 0 et a ≠ 1), est définie par : Sa dérivée est : Ses propriétés algébriques sont les mêmes que celles de la fonction ln. Si a = 10, loga est le logarithme décimal. On le note log. • Exponentielle de base a La fonction exponentielle de base a (a > 0), est la fonction définie par : Pour a ≠ 1, c’est la fonction réciproque de la fonction loga. . Sa dérivée est : . Remarquez bien qu’ici, la variable est uploads/Philosophie/ mini-manuel-de-mathematiques-pour-les-sciences-de-la-vie-et-de-l-environnement-cours-et-exos-corriges-dunod-pdf.pdf