Le raisonnement par l'absurde D.Gardes - ML.Gardes Irem de Dijon - Irem de Lyon

Le raisonnement par l'absurde D.Gardes - ML.Gardes Irem de Dijon - Irem de Lyon 17 juin 2019 D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Introduction Objectifs de l'atelier présenter une recherche en cours, inter-IREM, sur le raisonnement par l'absurde (RpA) vous proposer de ré échir sur le RpA et son enseignement D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Introduction Déroulé de l'atelier : • Temps 1 : présentation du raisonnement par l'absurde • Temps 2 : analyse en groupe d'extraits de manuels • Temps 3 : synthèse des analyses précédentes après remixage des groupes • Temps 4 : ré exion sur des points de vigilance dans les groupes d'origine • Temps 5 : synthèse de l'atelier D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 1 - Présentation du RpA Dans le programme de la classe de Seconde D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 1 - Présentation du RpA Le raisonnement par l'absurde repose sur : • le principe du tiers exclu • le principe de non-contradiction D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 1 - Présentation du RpA Le raisonnement par l'absurde repose sur : • le principe du tiers exclu • le principe de non-contradiction Pour démontrer qu'une proposition A est vraie, un raisonnement par l'absurde consiste à démontrer que sa négation non(A) est fausse. D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 1 - Présentation du RpA Le raisonnement par l'absurde repose sur : • le principe du tiers exclu • le principe de non-contradiction Pour démontrer qu'une proposition A est vraie, un raisonnement par l'absurde consiste à démontrer que sa négation non(A) est fausse. Cas 1 (non(A) = ⇒C) et non (C) où C est une proposition Cas 2 non(A) = ⇒(C et non(C)) où C est une proposition D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 1 - Présentation du RpA Exemple du cas 1 : 0 n'a pas d'inverse. On suppose que 0 a un inverse dans R. On le note a. Par dé nition de l'inverse, 0 × a = 1. Or pour tout réel x, 0 × x = 0. On en déduit que 0 = 1. On a : A est la proposition "0 n'a pas d'inverse" et C la proposition "0=1" D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 1 - Présentation du RpA Exemple du cas 2 : √ 2 est irrationnel. On suppose que √ 2 est rationnel. Il existe p et q deux entiers tels que √ 2 = p q et p et q étant premiers entre eux. On a alors p2 = 2q2, p2 est donc divisible par 2 (pair), et par suite p est pair. Il existe r entier tel que p = 2r. D'où q2 = 2r2, ce qui implique que q est pair. On a alors p et q pairs. Ainsi p et q ne sont pas premiers entre eux. On a : A est la proposition " √ 2 est irrationnel" et C la proposition "p et q premiers entre eux" D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 1 - Présentation du RpA Cas particulier où la proposition est une implication. La proposition A est : P = ⇒Q. On obtient les deux cas suivants : Cas 1 bis (P et non(Q)) = ⇒C et non(C) où C est une proposition Cas 2 bis (P et non(Q)) = ⇒(C et nonC) où C est une proposition D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 1- Présentation du RpA Exemple du cas 1bis : Quels que soient les entiers relatifs a et b, a + b √ 2 = 0 = ⇒b = 0. On suppose qu'il existe a et b entiers relatifs tels que a + b √ 2 = 0 et b ̸= 0. Ainsi √ 2 = −a b. Ce qui entraîne que √ 2 est rationnel. On a : P est la proposition "a + b √ 2 = 0", Q est la proposition "b = 0" et C est la proposition " √ 2 est rationnel" D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 1 - Présentation du RpA Exemple du cas 2 bis : Dans l'ensemble des suites réelles, si u0 > 1 et ∀n ∈N un+1 = u2 n alors (un) diverge. On suppose qu'il existe une suite (un) véri ant u0 > 1 et ∀n ∈N un+1 = u2 n et (un) converge vers une limite ℓ nie. Comme un+1 = u2 n, ℓ2 = ℓ. Donc ℓ= 0 ou ℓ= 1, ce qui entraîne ℓ⩽1. D'autre part,(un) est croissante et u0 > 1 donc ℓ> 1. On a : P est la proposition "u0 > 1 et ∀n ∈N un+1 = u2 n", Q est la proposition "(un) diverge" et C est la proposition "ℓ⩽1". D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 2 - Travail en groupes Analyse en groupe de manuels scolaires de seconde, première S et terminale S. Former 5 groupes de 4 personnes. D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 2 - Travail en groupes Analyse en groupe de manuels scolaires de seconde, première S et terminale S. Former 5 groupes de 4 personnes. Critère 1 - Nature du RpA : Quelle forme du RpA est donnée dans la dé nition ? Pour quel type de proposition ? Critère 2 - Vocabulaire : quel vocabulaire est employé ? Critère 3 - Articulation dé nition/exemple : Quel lien y-a-t-il entre la dé nition proposée et les exemples qui suivent ? Critère 4 - Pertinence des exemples : les exemples proposés vous semblent-ils pertinents à traiter par un raisonnement par l'absurde ? 20 minutes D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 3 - Travail en groupes Confrontation des analyses des diérents manuels. Former 4 groupes de 5 personnes. D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 3 - Travail en groupes Confrontation des analyses des diérents manuels. Former 4 groupes de 5 personnes. Quelles diérences et similitudes pouvez-vous relever dans vos analyses des diérents manuels ? 20 minutes D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 4 - Travail en groupes Ré exion sur des points de vigilance Reformer les 5 groupes de 4 personnes. D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 4 - Travail en groupes Ré exion sur des points de vigilance Reformer les 5 groupes de 4 personnes. Ré échir à quelques points de vigilance pour l'enseignement du RpA, en classe ou en formation. 20 minutes D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 5 - Bilan - Quelques points de vigilance • Vigilance sur le vocabulaire utilisé : proposition, négation, contradiction D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 5 - Bilan - Quelques points de vigilance • Vigilance sur le vocabulaire utilisé : proposition, négation, contradiction • Proposer les deux formes du RpA D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 5 - Bilan - Quelques points de vigilance • Vigilance sur le vocabulaire utilisé : proposition, négation, contradiction • Proposer les deux formes du RpA • Séparer les cas proposition élémentaire (en seconde) et proposition composée - implication (en première) D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 5 - Bilan - Quelques points de vigilance • Vigilance sur le vocabulaire utilisé : proposition, négation, contradiction • Proposer les deux formes du RpA • Séparer les cas proposition élémentaire (en seconde) et proposition composée - implication (en première) • Vigilance sur l'articulation entre la dé nition proposée et les exemples donnés D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 5 - Bilan - Quelques points de vigilance • Vigilance sur le vocabulaire utilisé : proposition, négation, contradiction • Proposer les deux formes du RpA • Séparer les cas proposition élémentaire (en seconde) et proposition composée - implication (en première) • Vigilance sur l'articulation entre la dé nition proposée et les exemples donnés • Proposer des exemples pertinents. Par exemple, éviter les raisonnements qui s'eectuent par contraposée ou par équivalence D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 5 - Bilan - Quelques points de vigilance • Vigilance sur le vocabulaire utilisé : proposition, négation, contradiction • Proposer les deux formes du RpA • Séparer les cas proposition élémentaire (en seconde) et proposition composée - implication (en première) • Vigilance sur l'articulation entre la dé nition proposée et les exemples donnés • Proposer des exemples pertinents. Par exemple, éviter les raisonnements qui s'eectuent par contraposée ou par équivalence • Vigilance sur l'"opérationnalité" de la dé nition proposée pour les élèves D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 5 - Des propositions - non encore testées en classe Des pré-requis : avoir travaillé la notion de proposition D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 5 - Des propositions - non encore testées en classe Des pré-requis : avoir travaillé la notion de proposition avoir travaillé la négation d'une proposition (élémentaire ou composée) D.Gardes - ML.Gardes Le raisonnement par l'absurde Temps 5 - Des propositions - non encore testées en classe Des pré-requis : avoir travaillé la notion de proposition uploads/Philosophie/ atelier-1-4-rpabsurde-gardes.pdf

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