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THEORIE DES CATEGORIES Alain Badiou (1993-1994) Préliminaire 1 I 6 Questions su

THEORIE DES CATEGORIES Alain Badiou (1993-1994) Préliminaire 1 I 6 Questions sur le fascicule 6 1) Sur la logique classique : .............................................................................................................6 2) Sur la différence entre l’égalisateur et l’épimorphisme :.............................................................7 3) Sur la flèche identique..................................................................................................................8 II 13 Quelques questions, encore, sur le fascicule 13 1) Sur la négation : .........................................................................................................................13 2) Sur l’exponentiation :.................................................................................................................13 Retour sur la question de l’ordre partiel. Sur la motivation de l’examen de cette structure. 15 Rappels ...........................................................................................................................................15 III 17 Ponctuation d’histoire de la philosophie 18 IV 22 V 34 VI 39 I 39 II 41 III 41 IV 42 VII 42 PRELIMINAIRE Aujourd’hui, dans un premier temps, je ferai une mise au point conceptuelle de la stratégie de pensée en jeu dans ce long travail. Dans un deuxième temps, je préparerai ce que nous allons entamer dès que possible, et qui concerne la logique ; l’exploration de ce que veut dire qu’un topos est un univers qui immanentise sa propre logique, en en faisant une singularité de l’univers. La logique, dans cet univers, est une dimension intrinsèque de l’univers, spécifiable de façon singulière, au lieu de lui être extérieure. On va étudier de façon fine cette question-là. Ensuite, pour l’essentiel, on va s’occuper de la question de l’infini. Qu’est-ce que l’infini dans le mode de pensée singulier qu’est la pensée catégorielle ? Étant entendu que dans les années précédentes, nous avons traité de l’identité et de la différence d’un côté, du vide de l’autre. Cette année, nous parlerons de la logique comme telle et de l’infini (infini incluant cette chose tout à fait passionnante qu’est la théorie catégorielle du nombre). Du point de vue des enjeux de la pensée : Factuellement, on peut penser que la théorie des catégories et des topos s’est présentée, tend à se présenter, comme un dispositif global qui serait une alternative à la théorie des ensembles, c’est-à-dire comme une autre manière de fixer le cadre général dans lequel se déploient les concepts de la mathématique, et par conséquent aussi comme une autre méthode d’exposition de la mathématique. Contradiction qui était au départ mon hypothèse. Selon la méthode consistant à placer la philosophie sous condition de phénomènes de ce genre, de cette situation, la philosophie doit savoir ce qui est en jeu pour elle-même dans cette situation. Lorsque la philosophie se met sous condition de phénomènes scientifiques de ce type, elle ne se met pas sous condition des discours scientifiques, mais sous condition des événements scientifiques.1 La thèse que j’ai été amené à soutenir, c’est qu’il ne s’agit pas de deux dispositifs concurrentiels du fondement de la mathématique. Du point de vue du philosophe, il apparaît qu’en réalité, il n’y a pas d’unité de plans entre les deux entreprises : elles ne sont pas deux stratégies pour fonder ou exposer les mathématiques. La visée propre de ces deux entreprises n’a pas la même assignation. La théorie des ensembles est de l’ordre de la décision ontologique. C’est une véritable prescription décisoire quant à ce qu’est une pensée de l’être-en-tant-qu’être. La vocation immédiate de la théorie des ensembles est de décider un univers mathématique et de faire se mouvoir la pensée mathématique de l’intérieur de cet univers. La théorie des topos est en réalité une théorie des possibles. C’est une description de possibilité. Son vecteur essentiel est de décrire ce que c’est qu’un univers possible, en retenant les prescriptions d’existence. La métaphore que j’utilise à cet égard est leibnizienne : l’entendement divin est composé de la totalité des univers possibles qui ne lui ek-sistent pas. Et Dieu crée un univers possible qu’il fulgure, selon la norme du meilleur univers possible (celui qui produit le maximum d’effets avec le minimum de causes). Donc, il y a la totalité virtuelle des univers dans l’entendement divin, et un univers qui existe, le meilleur. On dira que la théorie des topos est la théorie de l’entendement divin, c’est-à-dire des univers possibles, et même de la classification des univers possibles, tandis que la théorie des ensembles est une décision d’univers. Elle en prescrit un, qu’elle crée, qu’elle fulgure. En continuant la métaphore, on pourrait dire que la théorie des topos est une investigation du concept d’univers, donc une théorie des univers, tandis que la théorie des ensembles est une création d’univers, ce n’est pas une théorie d’univers -on peut même dire qu’elle n’a pas de concept d’univers -, mais une effectuation d’univers. Ce point donne lieu à une confusion parce qu’il donne lieu à deux débats, en réalité différents, mais souvent confondus : 1) Est-ce que la mathématique est une théorie des possibles, ou est-ce qu’elle est une création d’univers ? Est-elle une investigation formelle des possibles, ou l’investigation d’un univers constitué ? Vision logique et formaliste d’un côté, vision réaliste et intuitive de l’autre. 2) La théorie des ensembles est-elle le meilleur univers possible, au sens où Leibniz dit que le monde existant est le meilleur possible. Quelle est la proximité de la mathématique et de la logique ? Dans les controverses, ces deux questions sont souvent mélangées. La thèse dans laquelle nous sommes est la suivante : il n’y a pas d’unité de plans. Elle se donne dans un critère très simple : la théorie des catégories est une pensée définitionnelle ; elle décrit, par définitions, les traits constitutifs de ce que c’est qu’un univers possible. Une définition ne décide rien, c’est un opérateur d’identification, qui ne décide rien quant à l’existence. La théorie des ensembles repose toute entière sur des axiomes qui, eux, décident quant à des existences. Quels sont, dans une tentative pour penser l’être en tant qu’être, les rapports entre le possible et l’effectif ? Aussi bien le virtuel et l’actuel. C’est une question essentielle de toute l’histoire de la philosophie. Une des caractéristiques de la théorie des ensembles est qu’elle est entièrement dans l’actuel ; il n’y a pas de virtuel en elle. La théorie platonicienne des Idées est une doctrine de l’actuel. La pensée est sous condition de l’existence en acte des Idées. Dans le dispositif aristotélicien, ce qui est, la substance, est dans un rapport de la puissance et de l’acte. Il finit par y avoir un acte pur qui est dieu. Mais ce qu’il y a, c’est la réalisation de son acte immanent existant en puissance. Deleuze est la plus forte pensée contemporaine de l’être comme actualisation. L’essence de l’être est le virtuel et pas l’actuel, pour Deleuze. Le cahot est la virtualité anarchique pure. Donc, tout est actualisation. Dans ma pensée, il n’y a pas de virtuel. Le possible est lui-même une projection de l’actuel. 1 C’est ainsi que Platon se mettait sous condition du remaniement de la mathématicité post-pythagoricienne. Le rapport théorie des ensembles/théorie des catégories est une matrice de cette discussion. C’est cette discussion sous condition mathématique, discussion qui, du coup, devient contemporaine, placée sous sa condition scientifique : la question de l’être, à l’épreuve du virtuel et de l’actuel. La théorie des ensembles est une option ontologique. Cette option ontologique, en dépit du fait qu’elle soit souvent appelée platonicienne, est en réalité une option d’un matérialisme absolu, démocritéen, ou lucrétien, ou épicurien. Quels en sont les traits ? - L’un n’existe pas. Donc, il n’y a pas de principe, pas de transcendance. Il y a un étalement multiple qui n’est jamais subsumable sous une figure canonique de l’un. Le multiple est toujours multiple de multiples. Donc le il y a pur est simplement dans la forme de la multiplicité. C’est un dispositif radicalement soustrait à l’univers appelé l’onto-théologie par Heidegger, dispositif historial de la métaphysique. - Tout multiple est actuel , il n’y a pas de virtuel. C’est un trait aussi du matérialisme absolu. Ce qu’il y a, c’est du multiple, mais pas du multiple potentiel, mais du multiple actuel. - Toute différence est assignable localement. Il n’y a pas de différence qui ne serait que globale -qui serait qualitative, non extensionnelle. Si deux ensembles sont différents, cela veut dire qu’il y a un élément qui est dans l’un et pas dans l’autre, et qui, à lui seul, atteste la différence. Il y a toujours un plan d’épreuve élémentaire de la différence.2 Ce qui est en jeu, c’est la doctrine des multiplicités. Dans le théorie des ensembles, il n’y a qu’un seul type de multiplicités : des multiplicités composées d’éléments, donc la différence entre deux multiplicités est une différence d’éléments. Chez Bergson ou Deleuze, il y a des multiplicités qualitatives qui supposent une intuition globale de ce qu’elles sont. La multiplicité qualitative l’emporte sur l’autre, pour eux. La multiplicité ensembliste est une retombée analytique de la multiplicité qualitative. - Il n’y a pas de fond, en théorie des ensembles. Les multiplicités ne sont pas dépendantes d’un fond, et donc il n’y a pas de fondement qui serait la pensée de ce fond. Il n’y a pas de grand animal, de désordre premier, derrière tout ça. Il n’y a que le vide. Il y a des multiples, et parmi eux, et en eux, il y a le vide. Il n’y a donc aucune dimension qualitative uploads/Philosophie/ badiou-wittgenstein.pdf