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République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l'enseignement sup

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l'enseignement supérieur et de la recherche scientifique Université des Sciences et de la Technologie d'Oran- M. Boudiaf Faculté des Mathématiques et Informatique Mathématiques 1 Cours et Exercices Corrigés Destiné aux étudiants 1 ère ANNÉE SOCLE COMMUN Domaine Sciences et Technologie Par : Dr : BENAISSA CHERIF Amin Département de Mathématiques E-mail : amine.banche@gmail.com U.S.T.O.M.B 2020-2021 Avant-propos Ce polycopié vise à présenter le cours de Mathématiques 1. Il est destiné aux étudiants de la première année SOCLE COMMUN- Domaine Sciences et Technologie . Nous considérons comme un manuel supplément à d'autres ouvrages plus détaillés. Ce polycopié comporte six chapitres principaux, où sont exposées les notions de méthode du raisonnement Mathématique, des ensembles, les relations et les applications, des fonctions réelles à une variable réelle, d'application aux fonctions élémentaires, de développement limité et d'algèbre linéaire. Chaque chapitre de ce cours se termine par des exercices résolus permettant d'aller plus loin dans la compréhension et l'assimilation des notions mathématiques introduites. Toute remarque ou suggestion est la bienvenue pour m'aider à améliorer le contenu de ce travail. A. Benaissa Cherif i Table des matières 1 Méthodes du Raisonnement Mathématique 2 1.1 Logique Mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Les opérateurs logiques mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Quanti cateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Raisonnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Raisonnement direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Raisonnement par contraposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Raisonnement par l'absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.4 Raisonnement cas par cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.5 Raisonnement par contre exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.6 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Correction des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Les ensembles, les relations et les applications 12 2.1 Théorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.1 Inclusion, union, intersection, complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Relation d'ordre, Relation d'équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1 Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.2 Relation d'équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.3 Relation d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Les applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.1 Dé nition d'une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.2 Image directe, image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.3 Application injective, surjective, bijective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4.2 Correction des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 Les fonctions réelles à une variable réelle 29 3.1 Notions de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 Table des Matières 3.1.1 Dé nitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.2 Graphe d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.3 Fonctions bornées, fonction monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.4 Fonction paire, impaire, périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.5 Opérations algébriques sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Limite d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.1 Dé nition générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.2 Théorèmes sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Philosophie/ bca-m1.pdf