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Draft Introduction Rappel Mathématique Point selle d’une fonction Théorèmes de

Draft Introduction Rappel Mathématique Point selle d’une fonction Théorèmes de point ﬁxe Théorie des jeux M. BEZOUI mbezoui@umbb.dz November 15, 2014 (Séance N01) 1 / 30 Draft Draft Introduction Rappel Mathématique Point selle d’une fonction Théorèmes de point ﬁxe 1 Introduction 2 Rappel Mathématique 3 Point selle d’une fonction 4 Théorèmes de point ﬁxe 3 / 30 Draft Introduction Rappel Mathématique Point selle d’une fonction Théorèmes de point ﬁxe Introduction 4 / 30 Draft Draft Draft Draft Draft Draft Draft Draft Draft Draft Draft Introduction Rappel Mathématique Point selle d’une fonction Théorèmes de point ﬁxe Rappel Mathématique 15 / 30 Draft Introduction Rappel Mathématique Point selle d’une fonction Théorèmes de point ﬁxe Deﬁnition Soit K un sous ensemble d’un espace vectoriel réel E. K est convexe si ∀x, y ∈K, ∀λ ∈[0, 1], λx + (1 −λ)y ∈K. Autrement dit, toute combinaison convexe d’éléments de K est dans K. i.e. ∀xi ∈K, ∀λi ≥0, i = 1, n avec n X i=1 λi = 1 alors Pn i=1 λixi ∈K. 16 / 30 Draft Introduction Rappel Mathématique Point selle d’une fonction Théorèmes de point ﬁxe Deﬁnition Soit K un sous ensemble d’un espace vectoriel réel E. Un vecteur x ∈K est un point extrême de K si on ne peut pas l’exprimer comme combinaison convexe de deux autres points de K. i.e. On ne peut pas trouver deux vecteurs de K, y, z, diﬀérents de x et λ ∈[0, 1] tels que x = λy + (1 −λ)z. 17 / 30 Draft Introduction Rappel Mathématique Point selle d’une fonction Théorèmes de point ﬁxe Deﬁnition Soit une fonction f : K →ℜ, K une partie convexe de ℜ. On dit que f est: Convexe si ∀x, y ∈K, ∀λ ∈[0, 1], f (λx + (1 −λ)y) ≤λf (x) + (1 −λ)f (y). concave si ∀x, y ∈K, ∀λ ∈[0, 1], f (λx + (1 −λ)y) ≥λf (x) + (1 −λ)f (y). Quasi Convexe si ∀x, y ∈K, ∀λ ∈[0, 1], f (λx + (1 −λ)y) ≤max(f (x), f (y)). Quasi concave si ∀x, y ∈K, ∀λ ∈[0, 1], f (λx + (1 −λ)y) ≥min(f (x), f (y)). 18 / 30 Draft Introduction Rappel Mathématique Point selle d’une fonction Théorèmes de point ﬁxe 1 f est concave si et seulement si (−f ) est convexe. 2 f est concave (resp. convexe), alors f est quasi concave (resp. Quasi convexe). 3 f est quasi concave si et seulement si pour tout α ∈ℜl’ensemble {x ∈K, f (x) ≥α} est convexe. Deﬁnition Soient E un espace métrique, f : E →ℜ, et B(x0, η) la boule de centre x0 et de rayon η avec x0 ∈E. f est semi continue supérieurement (scs) en x0 si ∀λ ≥f (x0), ∃η > 0 tel que ∀x ∈B(x0, η) ⇒λ ≥f (x). 19 / 30 Draft Introduction Rappel Mathématique Point selle d’une fonction Théorèmes de point ﬁxe 1 f est semi continue inférieurement (sci) en x0 2 f est scs (resp. sci) sur E si elle l’est en tout point de E. 3 f est continue si elle est à la fois scs et sci. 4 f est scs si et seulement si pour tout α ∈ℜ, l’ensemble {x ∈K, f (x) ≥α} est fermé. Théorème Soit f une fonction déﬁnie sur un ensemble X, supposons que sup x∈X f (x) et inf x∈X f (x) existent. Alors: 1 inf x∈X −f (x) = −sup x∈X f (x) 2 sup x∈X −f (x) = −inf x∈X f (x) 20 / 30 Draft Introduction Rappel Mathématique Point selle d’une fonction Théorèmes de point ﬁxe Point selle d’une fonction 21 / 30 Draft Draft Introduction Rappel Mathématique Point selle d’une fonction Théorèmes de point ﬁxe Deﬁnition Soient X, Y deux ensembles et f une fonction déﬁnie sur X × Y à valeur dans ℜ. On appelle point selle de la fonction f tout couple (x, y0) ≤f (x0, y0) ≤f (x0, y), ∀(x, y) ∈X × Y 23 / 30 Draft Introduction Rappel Mathématique Point selle d’une fonction Théorèmes de point ﬁxe Exemple 1 f (x, y) = (y −1)2 −(x −1)2 admet le point (1, 1) comme point selle. 2 f (x, y) = (x −y)2 n’admet pas de point selle. Théorème Soient X, Y deux ensembles et f une fonction déﬁnie sur X × Y à valeur dans ℜ. Supposons que sup x∈X inf y∈Y f (x, y) et inf y∈Y sup x∈X f (x, y) existent alors: sup x∈X inf y∈Y f (x, y) ≤inf y∈Y sup x∈X f (x, y) 24 / 30 Draft Introduction Rappel Mathématique Point selle d’une fonction Théorèmes de point ﬁxe Théorème Soient X, Y deux ensembles et f une fonction déﬁnie sur X × Y à valeur dans ℜ. Supposons que sup x∈X inf y ∈Y f (x, y) et inf y ∈Y sup x∈X f (x, y) existent alors les deux assertions suivantes sont équivalentes. 1 (x0, y0) un point selle de f . 2 sup x∈X inf y ∈Y f (x, y) = f (x0, y0) = inf y ∈Y sup x∈X f (x, y) Théorème Le théorème d’existence du point selle (Von-Neuman). Soient X et Y deux sous ensembles non vides d’un espace de Banach et une fonction f : X × Y →ℜ. Supposons que les conditions suivantes sont vériﬁées: 1 X et Y sont non vides, convexes et compacts. 2 ∀y ∈Y , la fonction: x 7→f (x, y) est scs et concave. 3 ∀x ∈X, la fonction: y 7→f (x, y) est sci et convexe. Alors la fonction f admet au moins un point selle. 25 / 30 Draft Introduction Rappel Mathématique Point selle d’une fonction Théorèmes de point ﬁxe Théorèmes de point ﬁxe 26 / 30 Draft Introduction Rappel Mathématique Point selle d’une fonction Théorèmes de point ﬁxe 1 On appelle application univoque déﬁnie d’un ensemble X dans un ensemble Y , toute application f qui associe à tout élément x de X un et un seule élément y de Y . 2 On appelle point ﬁxe d’une application univoque f : X →X, le point vériﬁant x = f (x). 3 On appelle application multivoque (ou correspondance C) déﬁnie d’un ensemble X dans un ensemble Y, toute application qui associe à tout élément x ∈X, un sous ensemble non vide S de Y . On écrit C(.) : X →2Y2. 4 On dit que x ∈X est un point ﬁxe de la correspondance C(.) : X →2X si x ∈C(x). 5 On appelle graphe de la correspondance C(.) : X →Y , noté graphC, l’ensemble GraphC = {(x, y) ∈X × Y /y ∈C(x)}. 6 Soit C : X →2X une correspondance. GraphC est fermé si pour toute suite (xn, Yn) ∈GraphC, n ∈N, telle que (xn, yn) converge vers (x0, y0) alors (x0, y0) ∈GraphC. 27 / 30 Draft Introduction Rappel Mathématique Point selle d’une fonction Théorèmes de point ﬁxe Théorème Théorème de Brouwer Soit X un sous ensemble non vide, convexe et compact d’un espace euclidien et f une application continue de X dans X. Alors f admet un point ﬁxe x0. i.e. f (x0) = x0. 28 / 30 Draft Introduction Rappel Mathématique Point selle d’une fonction Théorèmes de point ﬁxe Théorème Théorème de Kakutani. Soit X un sous ensemble non vide, convexe et compact et considérons une correspondance C(.) : X →X de graphe compact telle que pour tout x ∈X, l’ensemble C(x) est non vide, convexe et compact, alors C(.) admet dans X un point ﬁxe x0. i.e. x0 ∈C(x0). 29 / 30 Draft Merci Pour votre attention! uploads/Philosophie/ cours-theorie-des-jeux.pdf