الجمهورية الجزائرية الديمقراطية الشعبية وزارة التعليم العالي و البحث العلمي الم

الجمهورية الجزائرية الديمقراطية الشعبية وزارة التعليم العالي و البحث العلمي المدرسة العليا في علوم التسيير عنابة Ecole Supérieure des Sciences de Gestion ANNABA Intitulé du Polycopié ALGÈBRE RAPPELS ET EXERCICES RESOLUS Module : Algèbre Classe : Préparatoire Niveau : Première Année Polycopié Réalisé Par : Dr. BOUCHELAGHEM Fayçal 2020/2021 `ˆÌi`ÊÜˆÌ Ê˜vˆÝÊ* Ê `ˆÌœÀÊ ‡ÊvÀiiÊvœÀʘœ˜‡Vœ““iÀVˆ>ÊÕÃi° /œÊÀi“œÛiÊÌ ˆÃʘœÌˆVi]ÊۈÈÌ\Ê ÜÜÜ°pdfedˆtˆng°Vœ“ ALGÈBRE RAPPELS ET EXERCICES RESOLUS Par Dr. Bouchelaghem Fayçal Table des matières Engagement vi Introduction vii 1 Elément de Logique mathématique 1 1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Assertion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Table de vérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Connecteurs logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Conjonction "et" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Disjonction "ou" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.3 Négation "non" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.4 Implication " ) " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.5 Equivalence " , " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.6 Propriétés des connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Quanti…cateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Règles d’utilisation des quantifcateurs . . . . . . . . . 8 1.3.2 Négation du Quanti…cateurs . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Types de raisonnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Raisonnement direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.3 Raisonnement par contre exemple . . . . . . . . . . . 11 1.4.4 Raisonnement par contraposition . . . . . . . . . . . 12 1.4.5 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Ensembles et Relations Binaires 16 2.1 Ensembles et sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Généralités sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 Complémentaire d’un ensemble . . . . . . . . . . . . 17 ii TABLE DES MATIÈRES 2.1.3 Ensemble des paties d’un ensemble . . . . . . . . . . 18 2.1.4 Opérations su les ensembles . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.5 Di¤érence et Di¤érence symétrique . . . . . . . . . . 21 2.1.6 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 Relation ré‡exive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.3 Relation symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.4 Relation antisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.5 Relation transitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.6 Relations d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.7 Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 Fonctions et Applications 37 3.1 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.1 Dé…nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.2 L’application identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.3 L’application constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.4 Egalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.5 Image directe- Image réciproque . . . . . . . . . . . . 40 3.2.6 Composée de deux applications . . . . . . . . . . . . 42 3.2.7 Restriction et prolongement d’une application . . . . 45 3.2.8 Applications injectives, surjectives et bijectives . . . . 46 3.2.9 Application réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4 Structures Algébriques 53 4.1 Lois de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1.1 Dé…nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1.2 Extension à A(X; E) d’une loi dé…nie sur E . . . . . 54 4.1.3 lois commutative et associative . . . . . . . . . . . . 55 4.1.4 Eléments neutre et symétrique . . . . . . . . . . . . . 55 4.1.5 Element Absorbant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1.6 Element simpli…able . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2 Groupe et sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2.1 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2.2 Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.3 Homomorphisme de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 iii TABLE DES MATIÈRES 4.3.1 Homomorphisme de groupes . . . . . . . . . . . . . . 63 4.3.2 Endomorphisme - Isomorphisme . . . . . . . . . . . . 64 4.3.3 Noyau . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Philosophie/ bouchelaghem-faycal-algebre.pdf

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Philosophiealors exemple solution exercice relation
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