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Calcul d’incertitude Copyright 2011 © Rappels mathématiques – Calcul d’incertit

Calcul d’incertitude Copyright 2011 © Rappels mathématiques – Calcul d’incertitude Page 1 LES INCERTITUDES DANS LES MESURES PHYSIQUES Une grandeur physique est un élément mesurable permettant de décrire sans ambiguïté une partie d’un phénomène physique, chacune de ces grandeurs faisant l’objet d’une définition claire et précise. Toute grandeur physique se représente soit par un symbole, soit par sa mesure obligatoirement accompagnée de ses unités. La physique travaille continuellement avec des approximations. Une des raisons en est que toute mesure d’une grandeur quelconque A est nécessairement entachée d’erreur. Il est impossible d’effectuer des mesures rigoureusement exactes. Pour prendre conscience du degré d’approximation avec lequel on travaille, on fait l’estimation des erreurs qui peuvent avoir été commises dans les diverses mesures et on calcule leurs conséquences dans les résultats obtenus. Ceci constitue le calcul d’erreur, ou calcul d’incertitude. Les premières notions sur les erreurs ou incertitudes peuvent être acquises en TP (Travaux Pratiques). 1. La mesure des grandeurs (Métrologie : sciences de la mesure) La mesure d’une grandeur est une opération fondamentale utilisée dans la physique. Quelque que soit la technique utilisée, on exprime la valeur d’une grandeur A par un nombre qui est le résultat de la mesure a, qui indique combien de fois l’unité choisie est contenue dans la grandeur mesurée. Exemple : Si on choisit le mètre (m) pour unité de longueur et si une certaine longueur AB contient 5x la longueur d’un mètre, le nombre 5 est la mesure de AB et l’on écrit que AB = 5m. Le résultat d’une mesure est un nombre décimal suivi du nom ou du symbole de l’unité. Une grandeur est dite mesurable si l’on sait définir. - Le rapport, - Ou l’égalité et la somme de deux grandeurs de même nature (même espèce). 2. Notion de la valeur exacte ae et la valeur approchée a d’une grandeur physique. Soit à mesurer une grandeur, une longueur par exemple, si l’on recommence la mesure plusieurs fois avec le même soin, les nombres trouvés de la mesure sont généralement légèrement différents c’est-à-dire que le nombre a résultat de la grandeur A, n’est qu’une valeur approchée de la grandeur A. Si ae est la valeur exacte de la grandeur A alors la différence (ae-a) est désignée par δa appelée erreur absolue et δa = (ae – a) de la mesure. Toute mesure d’une grandeur physique A est entachée d’une erreur δa dont les causes sont multiples : ae= a + δa (où δa est positif ou négatif). Par définition l’erreur absolue d’une grandeur mesurée A est l’écart qui sépare la valeur expérimentale a de la valeur que l’on a de bonne raison de considérer comme vraie ae. Prenons par exemple la vitesse de la lumière dans le vide 1 0 299792 . c kms− = , valeur considérée actuellement comme vraie, si un expérimentateur trouve 1 305000 . c kms− = , lors d’une mesure, on dit que l’erreur absolue de son résultat est : 1 0 5208 . a c c kms δ − = − = . Calcul d’incertitude Copyright 2011 © Rappels mathématiques – Calcul d’incertitude Page 2 Différentes causes d’erreur : Il y a trois principales causes d’erreurs. • Les erreurs systématiques : Elles proviennent d’une mauvaise utilisation ou d’une défectuosité de l’appareil de mesure (exemple : le zéro « 0 » de l’appareil l’ampèremètre qui est mal fait). • Les erreurs accidentelles : Elles sont dues au manque de fidélités des instruments (échauffement, force de frottement) et aux insuffisances de l’expérimentateur (erreurs de parallaxe). • L’erreur intrinsèque : Par exemple un trait gravé sur un une règle ne peut être infiniment fin sous peine d’être invisible. Un exemple d'erreur aléatoire est la mesure du temps avec un chronomètre. L'erreur vient du temps de réaction de l'expérimentateur au démarrage et à l'arrêt du chronomètre. Comme ce temps de réaction n'est pas toujours le même, la valeur mesurée peut être surévaluée ou sous-évaluée. On comprend qu'une répétition des mesures puisse atténuer l'erreur aléatoire. Une erreur est aléatoire lorsque, d'une mesure à l'autre, la valeur obtenue peut être surévaluée ou sous-évaluée par rapport à la valeur réelle. Par contre, l'erreur systématique ne sera pas diminuée par une série de mesures. Elle doit être repérée par l'expérimentateur et éliminée. Nous n'en parlons pas ici, 3. Incertitudes Absolues Il est évidemment impossible de connaître la valeur exacte a et le sens de l’erreur δa commise dans la mesure d’une grandeur A, mais il est du devoir de l’expérimentateur d’en déterminer une limite supérieure en valeur absolue, cette limite porte le nom de l’incertitude absolue on la note ∆a et on a δa<∆a. Soit une grandeur A à mesurer, on prend souvent :- Pour valeur approchée a de A, la valeur médiane (c’est-à-dire la moyenne des résultats extrêmes), et pour incertitude absolue ∆a de la grandeur A, l’écart entre la valeur médiane et les résultats extrêmes. Exemple : Les résultats de la mesure de la longueur d’un tableau ont donnés les valeurs comprises entre : 209.5 mm, …,210.5 mm, nous prendrons : a) Pour valeur approchée : 210.5 209.5 210 2 mm + = b) Pour incertitude absolue : 210.5 209.5 0.5 2 mm − = Et nous écrivons le résultat sous la forme : (210.0 0.5) l mm = ± , ce qui signifie que la valeur exacte (vraie) de la longueur du tableau est très probablement comprise entre : 210.0 0.5 209.5mm − = et 210.0 0.5 210.5mm + = . Calcul d’incertitude Copyright 2011 © Rappels mathématiques – Calcul d’incertitude Page 3 Autres exemples : Soit une longueur l=14.56 cm, mesurée au double décimètre à 0.2 mm près, s’écrira : (14.56 0.02) l cm = ± , notons qu’ici la longueur est donnée avec 4 chiffres significatifs. Dans le cas où l=0.200 m ici l’indication de l’incertitude absolue est de l’ordre de une unité 1 et porte sur le dernier chiffre indiqué, signifie que (20 0.1) l cm = ± d’où une incertitude absolue de 1 mm et le résultat s’écrira (200 1) l mm = ± , et si par exemple l=0.20 m, alors (20 1) l cm = ± . 4. Incertitudes Relatives L’incertitude absolue, lorsqu’elle est considérée seule, n’indique rien sur la qualité de la mesure. Pour juger de cette qualité, il faut comparer l’incertitude absolue à la grandeur mesurée. Le rapport de ces grandeurs est appelé incertitude relative a a ∆ mesurée, elle donne la précision de mesure. Comme pour l’erreur relative, l’incertitude relative est un nombre pur (sans unité), pratiquement toujours beaucoup plus petit que 1, que l’on exprime généralement en % (pourcentage). Exemple : 1/200 = 5/1000 = 5.13-3 (soit 5°/°°) c’est-à-dire 1 mm sur 200 mm (ou bien 0.20m). Reprenons la mesure du tableau nous écrirons : 3 0.5 2.4.10 210 − = , soit 2.4°/°° (2.4 pour mille). 5. Calcul des incertitudes a. Théorème des incertitudes absolues Dans une somme ou une différence l’incertitude absolue sur le résultat est égale à la somme arithmétique des incertitudes absolues sur les différents termes. S a b c d S a b c d S a b c d δ δ δ δ δ = − −+ ⇒ = − − + ⇒∆ = ∆+ ∆+ ∆+ ∆ b. Théorème des incertitudes relatives L’incertitude relative commise sur un produit est égal à la somme des incertitudes relative sur chacun des facteurs si :- 1 , , 1 , n n P a b c d P abcd P a b c d P a P a n n P a P a P a n P n a a P a b P b P a b ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = ⇒ = + + + ∆ ∆ = ⇒ = ∀ ∆ ∆ = ⇒ = ∀ ∆ ∆ ∆ = ⇒ = + Deux remarques importantes 1. Pour calculer l’incertitude absolue d’un produit il faut passer par l’incertitude relative, Calcul d’incertitude Copyright 2011 © Rappels mathématiques – Calcul d’incertitude Page 4 2. D’un point de vue pratique pour calculer l’incertitude relative d’une expression, on prend le logarithme puis la différentielle logarithmique de cette expression. Prenons un exemple : Calculer l’incertitude relative de la grandeur suivante : 2 2 cos ML G T α = , on prend le ln de G : 2 2 (cos ) LnG LnM LnL LnT Ln α = + − + , puis sa différentielle et on majore sin 2 2 cos 2 2 dG dM dL dT d G M L T G M L T tg G M L T α α α α α = + − − ∆ ∆ ∆ ∆ = + + + ∆ Exercice 1 : Transformer les incertitudes absolues en incertitudes relatives pour les mesures suivantes : a) (5.2 0.2) l cm = ± Réponse : 0.2 0.038462 0.04. .(4%) 5.2 soit = : b) (4.0 0.2) t s = ± Réponse : 0.2 0.05 (5%) 4.0 = K c) 2 (4.56 0.02).10 m kg − = ± Réponse : 2 uploads/Philosophie/ chap-1-physique-1-pdf.pdf