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1- Introduction : - L’étude des système passe par la manipulation des équations

1- Introduction : - L’étude des système passe par la manipulation des équations différentielle, -La résolution des équations différentielle n’est pas toujours simple, - La transformée de Laplace est un outil mathématique puissant utilisé pour la résolution des équations différentielles. 2- Définition : Soit f une fonction de la variable réelle t (temps) définie dans R et supposée nulle pour t<0, on appelle transformée de Laplace de f, la fonction F définie par : Avec p : variable complexe. On note : F(p) = L[f(t] et f(t) = L-1[F(p)] F(p) est la transformée de Laplace de f(t) F(t) est l’original de F(p) Chapitre II : Transformée de Laplace 1 Cours : Régulation automatique et techniques de comptage 3- Exemples : 3.1- L’échelon u(t) : Appelée aussi Existence ou fonction d’Heavyside. Elle correspond à un changement brusque de consigne (saut). Elle est définie par : Echelon unitaire Chapitre II : Transformée de Laplace u(t) 1 0 t 2 Cours : Régulation automatique et techniques de comptage 3.2- La rampe r(t) : Appelée aussi échelon e vitesse, elle est définie par : Rampe (ou échelon e vitesse) (Intégration par partie) Chapitre II : Transformée de Laplace r(t) 1 0 t 1 3 Cours : Régulation automatique et techniques de comptage 3.3- Impulsion de Dirac δ(t) : Elle est définie par : Impulsion de Dirac Chapitre II : Transformée de Laplace δ(t) 1/T 0 t T 4 Cours : Régulation automatique et techniques de comptage 4- Propriétés de la transformée de la Place : 4.1- Linéarité : f(t) = a.f1 (t) + b.f2(t) F(p) = a.F1(p) + b. F2(p) a et b sont des constantes 4.2- Facteur d’échelle : g(t) = f( k.t ) G(p) = F( ) k ϵ R* + 4.3- Translation : g(t) = f(t).e-a.t G(p) = F(p + a) Chapitre II : Transformée de Laplace L L 1 k p k L 5 Cours : Régulation automatique et techniques de comptage 4.4- Théorème du retard : Soient les fonctions f(t) et g(t), f(t) F(p) et g(t) = f(t – τ) g(t) présente un retard τ par rapport à f(t). La transformée de Laplace de g(t) est : g(t) = f(t-τ) G(p) = F(p).e-τ.p Chapitre II : Transformée de Laplace L L f(t) 0 t g(t) τ 0 t 6 Cours : Régulation automatique et techniques de comptage 4.5- Dérivation : Ordre 1 : Ordre n : Si les conditions initiales sont nulles, alors on a : Ordre 1 : Ordre n : Chapitre II : Transformée de Laplace 7 Cours : Régulation automatique et techniques de comptage 4.6- Intégration : En considérant les conditions initiales nulles, on a : 4.7- Théorème des limites : Théorème de la valeur initiale : Théorème de la valeur finale : Chapitre II : Transformée de Laplace 8 Cours : Régulation automatique et techniques de comptage 5- Utilisation de la transformée de Laplace : La transformation de Laplace permet de remplacer une équation différentielle dans le domaine temporel par une équation polynomiale dans le domaine symbolique. Elle est particulièrement adaptée à la résolution des équations différentielles linéaires à coefficients constants. 5.1- Exemples : a) Résoudre l’équation différentielle suivante : m.x’’ + k.x = 0 avec x(0) = x0 ; x’(0) = 0 Solution : m.p².X(p) – m.p.x0 – m.x’(0) + k.X(p) = 0 m.p².X(p) – m.p.x0 + k.X(p) = 0 X(p).( m.p² + k ) = m.p.x0 Résultat obtenu d’après la table des transformée de Laplace usuelles. Chapitre II : Transformée de Laplace 9 Cours : Régulation automatique et techniques de comptage aussi le passage de calculas a l'algebre donc une qimplification de resolution b) Résoudre l’équation différentielle suivante : y’’ + 3.y’ + 2.y = u(t) avec y(0) = -1 et y’(0) = 2 P².Y(p) – p.y(0) – y’(0) + 3.p.Y(p) – 3.y(0) + 2.Y(p) = 1/p Y(p).(p² + 3.p + 2) = 1/p – p – 1 =(1 – p – p²)/p Y(p) = (1 – p – p²)/(p.(p² + 3.p + 2)) y(t). y(t) n’existe pas dans la table de transformée de Laplace, alors on décompose en éléments simples : Y(p) = (1 – p – p²)/(p.(p² + 3.p + 2)) = Y(p) = (1 – p – p²)/(p.(p + 1).(p + 2)) = a/p + b/(p+1) + c/(p+2) D’où Y(p) = (1/2)/p + (-1)/(p+1) + (-1/2)/(p+2) y(t) = 1/2 – e-t – 1/2.e-2t et y’(t) = e-t + e-2t On vérifie bien que : y(0) = -1 et y’(0) = 2 Chapitre II : Transformée de Laplace L-1 L-1 10 Cours : Régulation automatique et techniques de comptage 7- Fonction de transfert d’un système : Soit l’équation différentielle suivante liant la sortie d’un système à son entrée : Pour résoudre cette équation différentielle, on lui applique la transformée de Laplace (en supposant que les conditions initiales sont nulles) : On définit la fonction de transfert (ou transmittance) du système, par le rapport de la transformée de Laplace de la sortie S(p) sur l’entrée E(p). L’ordre du système, qui est l’ordre de l’équation différentielle, est le degré du dénominateur de H(p). Chapitre II : Transformée de Laplace 11 Cours : Régulation automatique et techniques de comptage uploads/Philosophie/ chap-2-transformee-de-laplace.pdf