MATHS MPSI TOUT-EN-UN C. DESCHAMPS I F. MOULIN I N. CLEIREC I J.-M. CORNIL I Y.
MATHS MPSI TOUT-EN-UN C. DESCHAMPS I F. MOULIN I N. CLEIREC I J.-M. CORNIL I Y. GENTRIC I F. LUSSIER I C. MULLAERT I S. NICOLAS 5e édition © Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com ISBN 978-2-10-077659-7 Conception et création de couverture : Hokus Pokus Créations Pr efa e La réforme du lycée, qui a suivi celle du collège, a débuté par la classe de seconde en septembre 2010 et elle s’est achevée, en 2012, avec la mise en œuvre des nouvelles classes de terminale. Les étudiants qui entreprennent des études en classes préparatoires en septembre 2013 ont bénéficié, durant toute leur scolarité, de programmes rénovés, en particulier en mathématiques. Afin d’assurer une continuité avec ces programmes, de nouveaux programmes de classes préparatoires étaient donc indispensables. En mathématiques, en 1995, lors de la mise en place des programmes de l’époque, les Éditions Dunod nous avaient confié la tâche de fournir aux étu- diants un ouvrage de référence clair et précis complétant le cours, irrempla- çable, du professeur. Nous avions alors tenté un pari : faire tenir exposés et exercices, avec corrigés, en un seul volume, le premier « tout-en-un » (depuis, très largement imité), qui a remporté un grand succès. Aujourd’hui, avec une équipe partiellement renouvelée et de grande qualité, nous publions ce nou- veau « tout-en-un ». Tout en gardant les grands principes de l’ancien ouvrage, ce nouveau « tout-en-un » a l’ambition, en mettant en œuvre de nouvelles mé- thodes d’acquisition des connaissances, de proposer à l’étudiant une démarche pour s’approprier les théories du programme, théories indispensables tant aux mathématiques qu’aux autres disciplines. L’esprit qui a guidé l’équipe tout au long de son travail a été de ne pas se contenter d’un « toilettage » de l’ouvrage existant mais bien de concevoir et proposer un cours en conformité avec le texte, mais aussi avec l’esprit, du nouveau programme. Dans ce but, par exemple, la première partie « Techniques de calcul » est là pour aider les étudiants à réaliser la transition entre les programmes rénovés du lycée et les objectifs de la « formation mathématique » en classes préparatoires. Ces premiers chapitres ont pour mission de consolider et d’élargir les acquis du secondaire, en particulier dans la pratique du calcul, afin d’aborder dans les meilleures conditions le cœur du programme ; à dessein, certaines définitions précises et constructions rigoureuses ont donc été différées à des chapitres ultérieurs (avec un pictogramme comme ci-contre indiquant la page à laquelle 922 se référer). En pratique : • Le livre débute par un chapitre 0 : « Pour commencer » ; il ne s’agit pas d’un cours de logique mais d’une acquisition, à minima, de notions fon- damentales (assertions, ensembles, quantificateurs), chacune étant très largement illustrée. • De très nombreux exemples, souvent simples et issus de connaissances du lycée, illustrent chaque définition. iii • Les propositions et théorèmes sont énoncés, suivis immédiatement d’exem- ples élémentaires d’applications, et leurs démonstrations sont l’occasion d’un travail personnel de l’étudiant. Nous avons choisi de ne pas faire fi- gurer systématiquement à la suite de l’énoncé la rédaction complète de ces démonstrations mais plutôt d’indiquer à l’étudiant le principe de celles-ci avec les éléments qui lui permettront de la construire par lui-même et ainsi de mieux s’approprier la propriété. Évidemment, guidé par un renvoi précis en fin du chapitre, il pourra ensuite consulter la démonstration complète et vérifier (ou compléter) son travail personnel. • Lorsque plusieurs preuves étaient possibles, nous avons choisi de ne pas privilégier systématiquement la plus courte, souvent au profit de construc- tions explicites. C’est volontaire ; durant leurs études au lycée nos étudiants n’ont en général pas construit les objets mathématiques qu’ils ont utilisés : ils se sont contentés d’en admettre les propriétés. Or construire un objet, comme le fait un artisan, c’est se l’approprier, connaître parfaitement ses propriétés et les limites de ces propriétés. • Au cours du déroulement de chaque chapitre, l’étudiant trouvera, pour illustrer immédiatement l’usage des propositions et théorèmes, de très nom- breux exercices simples qu’il doit évidemment chercher et dont il pourra consulter une solution en fin de chapitre afin de vérifier son propre travail. • Régulièrement l’étudiant trouvera des « point méthode » qui, pour une situation donnée, lui offrent une ou deux possibilités d’approche de la réso- lution de son problème. Évidemment il trouvera après ce « point méthode » un ou plusieurs exemples ou exercices l’illustrant. • Enfin, à l’issue de chaque chapitre, il trouvera des exercices plus ambitieux demandant plus de réflexion, à chercher une fois le chapitre totalement maitrisé. Certains plus difficiles sont signalés par des étoiles ; les solutions de tous ces exercices complémentaires sont données, mais parfois de façon plus succincte que les solutions des exercices fondamentaux figurant dans le déroulement du cours. • Bien entendu nous sommes très intéressés par toute remarque que les étu- diants, nos collègues, tout lecteur. . . seraient amenés à nous communiquer. Cela nous permettra, le cas échéant, de corriger certaines erreurs nous ayant échappé et surtout ce contact nous guidera pour une meilleure exploitation des choix pédagogiques que nous avons faits aujourd’hui dans cet ouvrage. Claude Deschamps et François Moulin iv Le sit e les-maths-en-prepas.fr Ce livre est prolongé par un site web qui vous aidera à assimiler efficacement le programme de première année. Ce site, en synergie complète avec l’ouvrage mais qu’il ne remplace absolument pas, a été développé par certains des auteurs du livre pour offrir des compléments pédagogiques impossibles à mettre dans un ouvrage papier sous peine de le rendre illisible. Ces compléments portent à la fois sur les exercices et sur le cours. • En ce qui concerne les exercices, il ne s’agit pas juste d’une série supplémentaire d’exercices corrigés. Au contraire, l’interactivité que permet l’ordinateur ou la tablette est mise à profit pour vous fournir des niveaux d’explication bien plus détaillés que ceux d’un livre, pour vous proposer des pistes, voire de fausses pistes qu’il est bon d’avoir explorées afin de bien comprendre pourquoi elles ne mènent à rien. C’est vous-même qui choisirez, en fonction des problèmes de compréhension que vous rencontrerez, d’accéder ou non à ces différents niveaux d’explication, avant d’aboutir à une solution exhaustive et complètement rédigée. • En ce qui concerne le cours, la présentation des chapitres vous aidera à réviser plus efficacement en vue d’une colle ou d’une interrogation écrite. Après avoir étudié et travaillé votre cours sur papier avec le livre, la forme interactive du site vous permettra d’évaluer l’état exact de vos connaissances. Plutôt que de relire des pages de cours (ou des fiches, par nature incomplètes) au risque de vous y endormir, vous pourrez bénéficier de la présentation inversée des chapitres : partant de la table des matières et affinant par étapes successives, elle est conçue pour vous inciter à vous demander ce qu’il peut y avoir dans chaque partie qui n’est pas encore développée, quel théorème ou quelle propriété peut bien s’y trouver, quel en est l’énoncé exact, et quels exemples, contre-exemples ou cas particuliers peuvent vous fournir une aide précieuse pour « assurer » ce résultat. Cette démarche, privilégiée par les auteurs du site, est exactement celle dont vous aurez besoin lors d’une interrogation orale ou écrite. Que ce soit pour les exercices ou pour le cours, il ne faut pas chercher sur ce site des questions ou des exercices pointus issus des oraux des écoles les plus prestigieuses. Le but poursuivi est avant tout pédagogique : permettre à chacun, quel que soit son niveau, d’acquérir les bases et les réflexes indispensables pour effectuer une bonne première année, et de ne plus avoir d’angoisse sur les notions au programme. L’idée essentielle est qu’en allant voir un peu plus loin que le simple énoncé d’un théorème ou d’une formule, en assimilant en même temps le principe de la démonstration, des exemples et des contre-exemples, il est plus facile d’en avoir une connaissance précise. Enfin, bon nombre de questions sont enrichies de graphiques interactifs animés qui vous faciliteront l’assimilation de certaines notions en les visualisant et les manipulant plus facilement. v T able des mati er es Préface iii Le site les-maths-en-prepas.fr complémentaire du livre v Table des matières vi Chapitre 0. Pour commencer 1 I Assertions, ensembles et prédicats . . . . . . . . . . . . . . . 3 II Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Démonstrations et solutions des exercices du cours . . . . . . . . . 14 Partie I. Techniques de calcul Chapitre 1. Droite numérique, fonctions à valeurs réelles 19 I Ensemble des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 II Fonctions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Philosophie/ feuille-tage 1 .pdf
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- Publié le Oct 05, 2021
- Catégorie Philosophy / Philo...
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