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Chapitre E5: Electronique numérique Cours Chapitre E5 : Electronique numérique

Chapitre E5: Electronique numérique Cours Chapitre E5 : Electronique numérique 1 Echantillonage d’un signal analogique 1.1 Principe de la conversion analogie-numérique CAN La plupart des signaux physiques sont analogiques : ils sont des fonctions continues du temps. Il peut être utile de les numériser. Le signal numérique acquis est alors une fonction discrète du temps. C’est le rôle de la carte d’acquisition, réalisant une conversion analogique-numérique (CAN). A l’inverse il est possible de convertir un signal numérique en signal analogique (CNA). Numériser un signal peut présenter plusieurs intérêts : — Les signaux numériques sont moins sensibles au bruit électronique. — Un signal numérique nécessite une plus faible puissance d’émission. — Le traitement numérique est plus simple à mettre en œuvre sur un signal numérisé : pas besoin de modiﬁer un montage expérimental en changeant les valeurs des composants, un simple changement d’al- gorithme suﬃt. Echantilloner un signal analogique consiste à prendre des valeurs données à des instants discrets réguliè- rement espacés d’une période Te. Te est la période d’échantillonage, fe = 1 Te est la fréquence d’échantillonage. Exemples : un signal audio numérique (mp3) est généralement échantilloné à fe = 44, 1kHz. Les oscillo- scopes numériques de la salle de TP ont une fréquence d’échantillonage réglable. 1 PSI, lycée de l’Essouriau, 2016/2017 Chapitre E5: Electronique numérique Cours 2 Phénomène de repliement spectral 2.1 Expérience collective : mouvement apparent d’un segment tournant (expérience 1) 1. Proposer un protocole permettant de déterminer la fréquence de rotation du disque à l’aide d’un strobo- scope. 2. Reporter sur la ﬁgure ci-dessous les observations réalisées : b) Fe=F Figure apparente c) Fe=4F Figure apparente d) Fe < F e) Fe > F Figure apparente Figure apparente θ (u.a.) t(s) a) Fe=F/2 Figure apparente t(s) t(s) t(s) t(s) 2 PSI, lycée de l’Essouriau, 2016/2017 Chapitre E5: Electronique numérique Cours 2.2 Un même signal numérique pour plusieurs signaux analogiques diﬀérents (expérience 2) 1. Avec le GBF, générer un signal sinusoïdal de fréquence 5Hz strictement positif (ajuster pour cela l’oﬀset et l’amplitude). Le visualiser sur l’oscilloscope. 2. Ouvrir le logiciel Arduino puis le programme CAN2 (dans Program ﬁles/Arduino). Téleverser le pro- gramme dans la carte Arduino puis dans le menu outil cliquer sur Traceur série. Est alors aﬃché en temps réel le signal de l’entrée analogique A0 avec une période d’échantillonage de 1 ms. 3. Demander au professeur la carte Arduino correspondant à votre numéro de poste. Visualiser en temps réel le signal résultant de l’acquisition numérique du signal de fréquence f = 5Hz. ATTENTION : l’une des pattes GND de la carte Arduino doit impérativement être reliée à la masse du GBF. 4. Augmenter la fréquence du signal analogique jusqu’à 1kHz et relever plusieurs valeurs de fréquences telles que les signaux numérisés correspondent à une même fréquence apparente que celle du signal de fréquence 5Hz. 5. Interpréter cette observation à l’aide du schéma ci-dessous en représentant le signal numérique ) à partir du signal analogique déjà tracé et sachant que Te = 2, 0.10−5s. 2.3 Condition de Nyquist Schannon 1. Soit un signal sinusoïdal v(t)=A cos (2πft) de fréquence f. Echantilloner un signal revient mathémati- quement à le multiplier par une série d’impulsions temporelles, le signal après échantillonnage est alors de la forme : ve(t) = E ∞ X n=0 cos (n2πfet) × v(t) = E′ ∞ X n=0 [cos (n2πfet) cos (2πft)] Linéariser l’expression du signal ve(t) puis compléter le graphique ci-dessous représentant le spectre du signal échantillonné dans deux cas : fe >> 2f et fe < 2f. Sachant que l’étendue du spectre aﬃché par un oscilloscope (ou tout programme utilisant l’algorithme FFT) s’étale de 0 à fe 2 , en déduire à quelle condition sur fe l’observation du spectre est correcte. 3 PSI, lycée de l’Essouriau, 2016/2017 Chapitre E5: Electronique numérique Cours 2. Cas d’un signal quelconque comportant un spectre large. Pour simpliﬁer on considèrera que le spectre d’un tel signal peut s’écrire comme la somme d’une inﬁnité de sinusoïdes. On appelle fmax la plus haute composante spectrale du signal. Compléter le graphique ci-dessous représentant le spectre du signal échantillonné dans deux cas : fe >> 2fmax et fe < 2fmax. En déduire la condition sur fe pour que l’observation du spectre entre 0 et fe 2 soit correcte. On parle de repliement de spectre (aliasing en anglais) lorsqu’il y a apparition de raies spectrales dans le domaine fréquentiel du signal réel. La condition pour ne pas avoir de repliement de spectre est la condition de Nyquist-Schannon : 2.4 Observation d’un repliement de spectre avec l’oscilloscope (expérience 3) Dans cette partie on s’intéresse à l’analyse spectrale d’un signal de votre oscilloscope numérique. Nous avons vu que le choix de la fréquence d’échantillonnage est un paramètre crucial pour eﬀectuer une numérisation correcte du signal. Il faut respecter la condition de Nyquist-Shannon. En pratique il est préférable d’avoir fe >> 2fmax. Pour choisir fe, on peut régler deux paramètres : — La durée D de l’acquisition — Le nombre de points N de l’acquisition La période d’échantillonnage se déterminant avec la relation : Te = D N (a) Aller regarder dans la documentation du fabriquant le nombre de points N (ﬁxe) qu’utilise votre oscilloscope pour numériser le signal. Le nombre de points est-il identique pour l’acquisition du signal et pour l’aﬃchage du spectre ? (b) Sur l’écran du menu FFT, la fréquence d’échantillonnage est donnée en S/s (S pour Samples), donc en Hz. Comment la modiﬁer ? Quel paramètre (D ou N) contrôlez-vous pour modiﬁer Fe ? (c) Vériﬁer que la borne supérieure du graphe FFT aﬃché par l’oscilloscope correspond à la fréquence fe 2 . 4 PSI, lycée de l’Essouriau, 2016/2017 Chapitre E5: Electronique numérique Cours On souhaite faire l’analyse spectrale d’un signal sinusoïdal de fréquence f = 100kHz. (a) Choisir la fréquence d’échantillonnage, le nombre N de points d’acquisition ou la durée D pour que l’analyse spectrale soit correcte. Réaliser cette acquisition et vériﬁer que le spectre du signal sinusoïdal est correctement tracé dans le menu FFT de l’oscilloscope. (b) Pour une durée d’acquisition ﬁxée (donc fe ﬁxée), modiﬁer la fréquence f du signal de façon à observer un repliement de spectre. (c) Comment faire pour observer le spectre d’un signal avec une échelle plus petite sans modiﬁer la fréquence d’échantillonnage ? 2.5 Eﬀet des paramètres d’acquisition sur la résolution spectrale (pour les plus rapides) Dans cette partie on travaillera toujours avec la fréquence fe très supérieure à 2fmax de telle sorte que les problèmes dus à l’échantillonnage soient absents. (a) Comparer et représenter sur un même graphe l’allure des spectres d’un signal sinusoïdal pour diﬀé- rentes durées d’acquisition. On pensera à utiliser l’outil de zoom pour agrandir l’éhelle sans changer la durée d’acquisition. (b) Comment faut-il choisir N et D pour que la résolution spectrale soit la meilleure possible ? 3 Filtrage numérique d’une acquisition (expérience 4) Dans cette partie on réalise un ﬁltrage numérique d’un signal analogique. Ce ﬁltrage sera programmé di- rectement dans l’environnement Arduino CAN3. La carte Arduino ne pouvant travailler qu’avec un signal strictement positif, réaliser un signal sinusoïdal de fréquence 40 Hz, d’amplitude 1, 5V avec un oﬀset d’environ 1 V. 3.1 Filtrage numérique passe-bas Le premier ﬁltrage que l’on souhaite réaliser est un ﬁltrage de type passe-bas avec la fréquence de coupure 62, 5Hz. La fonction de transfert d’un ﬁltre analogique passe-bas du premier ordre équivalent est de la forme : s e = 1 1 + jx avec x = ω ωc = ωτ L’équation diﬀérentielle associée est donc : s + τ ds dt = e 5 PSI, lycée de l’Essouriau, 2016/2017 Chapitre E5: Electronique numérique Cours 1. La période d’échantillonage en ms est déﬁnie dans delay(). Par défaut on choisit une période de 1 ms. Le critère de Nyquist-Schannon est respecté pour des signaux sinusoïdaux de quelles fréquences ? 2. Après échantillonnage, le CAN permet d’obtenir une série de données du signal d’entrée e[j]. En vous aidant de la méthode d’Euler (vue en première année), écrire une relation mathématique entre s[j], s[j +1], e[j], fc et la période d’échantillonnage Te, où s[j] est la valeur du signal de sortie du ﬁltre numérique. 3. Dans le programme CAN3, écrire la ligne de code donnant la valeur du signal de sortie. Remarque : comme en langage Python s[j + 1] = s[j] + 2 peut s’écrire s = s + 2. 4. La carte possède des sorties permettant la conversion numérique-analogique (CNA) sous la forme de modulation de largeur d’impulsion, notée PWM (Pulse Width Modulation). Le signal de sortie de la carte est un signal haute fréquence fs = 31kHz dont la valeur moyenne est proportionnelle au signal numérique de sortie. Réaliser un ﬁltre passe-bas RC en sortie de la carte (sortie PWM 9) avec R ≈10kΩ et C ≈22nF (fréquence de coupure de 720 Hz). Le signal numérique convertit analogiquement par la carte peut maintenant être mesuré en sortie de ce ﬁltre. 5. Téléverser le programme dans la carte et observer simultanément sur l’oscilloscope le signal d’entrée et le signal de sortie. Rappel : on uploads/Philosophie/ chapitre-e5-electronique-numerique-1-echantillonage-d-x27-un-signal-analogique.pdf