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Notion de logique 1 PROPOSITION ET PRÉDICAT : La logique permet de modéliser et

Notion de logique 1 PROPOSITION ET PRÉDICAT : La logique permet de modéliser et d’étudier le raisonnement mathématique 1°) Assertion ou énoncé : Les phrases du langage courant sont de plusieurs types : déclaratif, exclamatif… En maths l’intérêt est porté sur les phrases déclaratives que l’on nomme énoncé ou assertion. 2°) Proposition : Proposition : énoncé auquel on attribue une valeur de vérité soit vraie (1) soit fausse (0) Attention, un énoncé n’est pas forcément une proposition. 3°) Prédicat : En maths, on travaille souvent avec des variables. Définir une variable x signifie que l’on définit automatiquement l’ensemble dans lequel elle varie, soit E. X X E Un prédicat est un énoncé qui peut contenir plusieurs variables et qui devient une proposition chaque fois que les variables sont fixées dans leurs ensembles respectifs Exemples : X Є E, X>10 est un prédicat X est impair, n’est pas un prédicat car x n’est pas définit 2 OPÉRATIONS SUR LES PROPOSITIONS ET LES PRÉDICATS : Propositions p, q,…appelées variables propositionnelles à partir desquelles on peut construire des propositions plus complexes. 1°) La conjonction ^ (et) : s’écrit à l’aide du connecteur logique ^ , elle permet de former la proposition p^q. La valeur de vérité de la proposition p^q dépend de la valeur de vérité de p et de celle de q. On résume ceci dans la table de vérité : p q p^q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Remarque : On fait toutes les tables dans le même ordre. P^q est vrai si et seulement si les deux propositions sont vraie en même temps Le connecteur ^est un binaire 2°) la disjonction v (ou) : p v q : « ou » logique Table de vérité : p q P v q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 p v q est vraie si au moins une des propositions est vraie. Le connecteur v se différencie de celui du langage courant (ou exclusif) car lui-même est non exclusif. Le connecteur v est binaire. 3°) La disjonction exclusive ¤ (noté + entouré) : Elle correspond à la proposition composée (p^/q) v ( /p^q) p¤q est vraie si et seulement si une et une seule des propositions p et q est vraie. On retrouve ainsi le sens du langage courant : p q p¤q 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 4°) La négation : C’est une opération unitaire connecteur logique / (de préférence une barre verticale sur la proposition) A partir de p, on note non p: /p p /p 1 0 0 1 5°) L’implication logique : permet de créer p => q p => q est faux quand p est vrai et que q est faux Lorsque p => q est vraie on dit que p est une condition suffisante de q et que q est une condition nécessaire de p. 6°) Equivalence : permet de former pq p p pq 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 pq est vraie lorsque p et q sont toutes les deux vraie ou toutes les deux fausses. Remarque : Toutes les opérations définies sur les propositions s’appliquent aux prédicats sachant qu’un prédicat devient une proposition lorsque les variables sont fixées. Autres exemples (exercices) S : (p^q)v r [(pvr)^(qvr)] p q R (p^q)v r pvr qvr (pvr)^(qvr)  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 Dans l’exemple précédent, toutes les équivalences sont vraies dans n’importe quel cas. On dit que S est une tautologie. 3 TAUTOLOGIE, ANTILOGIE : Une tautologie (respectivement une antilogie) est une proposition composée dont la valeur de vérité est toujours vraie respectivement toujours fausse) quelques soient les valeurs de vérité des variables propositionnelles qui la composent. Exemples : p v /p est une tautologie p^ /p est une antilogie Quelques exemples à retenir : on pourra démontrer en exercice (en faisant les tables de vérités) que ces énoncés sont des tautologies. //p p (involution) (pq)  (p=>q ^ q =>p) (Équivalence) (p=>q)  (/q=>/p) (Contraposition) (p=>q)  ( /p v q) p v p  p p^p  p(Idempotence) /(p^q)  /p v /q) /(p v q)  /p^/q (Lois de De Morgan) p^(q v r)  (p^q) v( p^r) (distributivité de ^sur le v.) p v(q^r)  (p v q)^(p v r) (distributivité de v sur ^.) [(p=>q)^(q=>r)] => (p=>r) (transitivité de l’implication logique) [(p=>q)^/q)=>/p p^(p=>q)]=>q [pq]^[qr]=>[pr] (transitivité de l’équivalence) pvaa p^tp p^/pa pv/pt (ou a : antilogie et t :tautologie) (Complémentation) 4 THÉORÈME : La notion de théorème s’applique au prédicat. Soit P un prédicat, P est un théorème si et seulement P prend la valeur de vérité vraie pour toutes les valeurs que la (ou les) variable(s) peut prendre. Remarque : Lorsque P est un théorème, P est vrai. Lorsqu’il existe une valeur (au moins) de la (ou les) variable(s) pour laquelle P est faux, on dira que P n’est pas un théorème. Exemples : X Є R x>10 => x>9 : théorème X Є N x3 => x Є {4, 5, 6, …, 10} : n’est pas un théorème car pour x = 11, x Є N et pourtant x n’appartient pas à l’ensemble {4, 5, 6, …, 10}. 5 IMPLICATION LOGIQUE ET MÉTHODES DE DÉMONSTRATION : Dans ce paragraphe, la question est de savoir si un prédicat donné est un théorème. Ce prédicat peut se présenter sous la forme p=>q ou A. Remarque : P, Q, R sont des prédicats ; p, q, r sont des propositions. Définitions : La réciproque de p=>q est l’implication logique q=>p ____ La négation de p=>q est /(p=>q) et nous avons vu la tautologie suivante : ( p=>q )  p ^/q La contra posée de p=>q est l’implication logique suivante : /q => /p 1°) Le prédicat P=>Q est-il un théorème ? Plusieurs façon de le voir :  Si /P est un théorème (c’est à dire P prédicat toujours faux) alors P => Q est un théorème.  Q est un théorème, auquel cas P=>Q est un théorème  Si /P n’est pas un théorème et Q n’est pas un théorème : il s’agit du cas général : plusieurs méthodes de démonstrations. (voir si dessous) La contra-position Pour démontrer P=>Q, nous utilisons sa contra posée /Q=>/P Exemple : P(a, b) : a  -1 ^ b  -1 Q(a, b) : a + ab +b  -1 avec (a, b) Є R² [(a  -1 ^ b  -1) => (a + ab +b  -1 avec (a, b) Є R²)]  [(a + ab +b = -1) => (a = -1 v b = -1)] Le syllogisme Cette méthode repose sur la transitivité de l’implication logique Méthode : Soit P => Q Il s’agit d’introduire le prédicat intermédiaire R tel que P=>R et R=>Q est vrai. Remarque : on peut utiliser plusieurs prédicats intermédiaires Disjonction des cas, ou dilemme Il s’agit de démontrer P=>Q en distinguant deux cas. Méthode : On utilise la tautologie suivante : {[(p^r)=>q]^[(p^/r)=>q]^[r v /r] }  (p=>q) Il faut donc introduire deux prédicats r et /r est démontrer : - p^r => q est un théorème - p^/r => q est un théorème Ainsi on a démontré p=>q 2°) Le contre-exemple : Soit A un prédicat dépendant de la variable x, x Є E. A n’est pas un théorème si et seulement si A prend la valeur faux pour au moins un élément x de E Appelons cet x : x0 , x0 est un contre-exemple. Dans le cas du prédicat P=>Q, nous voulons démontrer que P=>Q n’et pas un théorème. On cherche donc x0 Є E tel que /[P(x0) => Q(x0)] est vrai. Or, /( P(x0) =>Q(x0) )  P(x0) ^/Q(x0) Donc, trouver un contre-exemple c’est dire qu’il existe x Є E tel que P(x0) ^/Q(x0). Exemple : Soit le prédicat sur les entiers naturels n Є N : « n est divisible par 4 et n est divisible par 6 »=> n est divisible par 24. Contre Exemple : 12 3°) Le raisonnement par l’absurde : Le but est de démontrer que le prédicat A est un théorème. Définition : Le raisonnement par l’absurde consiste à introduire le prédicat /A tel que /A => /B ou B est un théorème connu. En effet, par contra-position, on pourra ensuite revenir : (/A =>/B)  ( B=>A) Remarque : le théorème B est à découvrir de manière intuitive. Exercices Exercice 1 Les énoncés suivant sont ils des propositions ? 1) la lune tourne autour de la terre Proposition 2) la lune tourne autour de la galaxie Proposition 3) il fait uploads/Philosophie/ chapitre-i-notion-de-logique.pdf