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ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES version 0.01 8 Novembre 2009 Ce document e

ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES version 0.01 8 Novembre 2009 Ce document est sous licence Creative Commons version 3.0 France paternité; pas d’utilisation commerciale; partage des conditions initiales à l’identique http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.fr Table des matières Table des matières i Avant-propos iii Introduction v 1 I ARITHMÉTIQUE 1 Théorie de la démonstration 3 2 Nombres 29 3 Opérateurs arithmétiques 61 4 Théorie des ensembles 77 5 Théorie des nombres 109 6 Probabilités 125 7 Statistiques 137 233 II ALGÈBRE 8 Calcul Algébrique 235 9 Algèbre et géométrie ensemblistes 259 10 Analyse fonctionnelle 273 11 Topologie 299 12 Théorie de la mesure 311 13 Calcul différentiel et intégral 319 14 Suites et séries 387 15 Calcul vectoriel 433 481 III CHIMIE 16 Chimie quantique 483 17 Chimie moléculaire 497 18 Chimie analytique 505 19 Chimie thermique 509 517 IV ANNEXES A Repères biographiques 519 525 V RÉFÉRENCES ET INDEXES Références 527 Index général 529 Index des noms propres 533 Avant-propos L e présent document a été conçu de façon à ce que les connaissances requises pour le parcourir soient les plus élémentaires. Pour le consulter, il suﬃt de savoir raisonner, d’observer et d’avoir du temps. À ce titre, il doit pouvoir se substituer à de nombreuses références et permettre ainsi à toute personne curieuse de parfaire ses connaissances dans ce domaine. Naissance Force est de constater qu’un ouvrage assez complet, détaillé et pédagogique, si possible d’accès gratuit et portatif et présentant une vue d’ensemble des notions de mathématiques appliquées, comprenant des démonstrations, n’est actuellement pas disponible. Un tel ouvrage oﬀrirait, en plus, une notation homogène ainsi que la possibilité d’améliorations ou de compléments suggérés par le lecteur attentif. Certes, dans le but de partager ce savoir mathématique, il peut paraître paradoxal de vouloir augmenter la liste, déjà longue, des ouvrages disponibles dans les bibliothèques, dans le commerce et sur internet. Il faut donc en mesure de présenter une argumentation solide qui justiﬁe la création d’un tel document. Voici donc les quelques arguments qui paraissent susceptibles d’être énumérés : 1. le partage de la connaissance; 2. le caractère évolutif et pratique d’un document électronique libre, en fonction de la demande ; 3. une présentation rigoureuse avec des démonstrations simpliﬁées ; 4. la possibilité pour les étudiants, les professeurs et plus généralement les lecteurs, de réutiliser les sources; 5. une notation homogène, dans tout l’ouvrage, pour les opérateurs mathématiques, un langage clair et rigoureux sur l’ensemble des sujets abordés ; 6. l’archivage des sources d’un tel document en vue d’une traduction en un nouveau language issu des nouvelles technologies de l’information. Les informations détaillées dans ce document ne sont pas nouvelles mais malheureusement, elles ne sont pas non plus toujours facilement accessibles. Datant de plusieurs dizaines d’années au minimum, elles ne sont normalement plus soumises à une quelconque propriété intellectuelle et peuvent être librement distribuées. Le choix de présenter l’ensemble des concepts par ordre logique et non par ordre de nécessité a eu les conséquences suivantes : 1. il faudra parfois admettre provisoirement certaines idées, quitte à les comprendre plus tard ; 2. il sera certainement nécessaire pour le lecteur de parcourir au moins deux fois l’ensemble de l’ouvrage. Lors de la première lecture, on appréhende l’essentiel et lors de la deuxième lecture, on comprend les détails ; 3. il faut accepter certaines répétitions ainsi que les nombreuses références croisées et remarques complémentaires. Certains savent que pour chaque théorème et modèle mathématique, il existe souvent plusieurs démonstrations. A été choisie celle qui semblait la plus simple. L AT EX Parmi les possibilités disponibles pour le développement d’un tel document, la seule qui semble pertinente actuellement est L AT EX. Ce language associe qualité visuelle et honnêteté typographique mais permet aussi, par son principe de fonctionnement même, la création de documents électro- niques au sein desquels il est possible de naviguer facilement. Une solution purement basée sur la iv AVANT-PROPOS technologie internet (html, xml, mathml...) ne semble ne pas avoir atteint un niveau de maturité suﬃsant quand le contenu scientiﬁque est important. Qui plus est, ce système est libre et par conséquent accessible à tout le monde, et permet de travailler manière complètement autonome. Une attention toute particulière est portée aux illustrations, grâce à l’utilisation de l’extension PSTricks, qui permet de conserver une homogénéité. Il s’agit aussi d’un choix pérenne puisque les sources sont utilisables sous tout type de système d’exploitation et pourront être traduites, au cas où l’avenir l’exige, dans un format plus moderne. L’un des principes fondamentaux de LaTeX est la séparation du contenu et de la mise en forme. L AT EXcalcule la mise en page, numérote chapitres, sections, tableaux et ﬁgures, crée les références bibliographiques, les indexes, la table des matières et les références croisées avec un minimum d’interventions. Bien que cette caractéristique soit découplée du choix du programme de traitement texte, il s’avère que L AT EXréalise un travail remarquable concernant la prise en compte des règles typogra- phiques relatives à chaque langue. La langue française a donc ses propres conventions, détaillées pour la plupart dans le document : http://jacques-andre.fr/faqtypo/lessons.pdf et respectées, dans la mesure du possible, dans cet ouvrage. Utilisation Ce document contient des renvois hypertextes qui permettent une lecture eﬃcace et ﬂuide. Il peut s’agir par exemple, au sein du texte principal, d’un renvoi à une référence bibliographique qui contient les détails appropriés pour un approfondissement ultérieur. Il peut s’agir aussi d’un renvoi à une déﬁnition expliquée dans une autre page : dans ce cas précis, c’est dans la marge que le lien apparaît aﬁn qu’il conserve un sens pour une version imprimée. Enﬁn, l’index et la table des matières autorisent un saut directement à la page sélectionnée par le lecteur. Un comportement similaire existe pour les équations, les ﬁgures et les tableaux. Pour un ouvrage de cette proportion, il semble important de souligner cet aspect. On notera l’existence de la commande Alt + ←dans Acrobat Reader qui permet de revenir à la page lue précédente et qui n’existe pas dans tous les lecteurs de documents pdf. Pour la légèreté du document et lecture améliorée, les polices et les graphiques sont conservés sous forme vectorielle. Remerciements Dans l’ordre alphabétique : – Rafaël Guglielmetti, passionné du développement web et étudiant en mathématiques à l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne, pour le développement et l’amélioration du code du forum ; – Léon Harmel, ingénieur diplômé en électromécanique avec une spécialisation en électronique et automaticité, responsable au laboratoire de recherches physiques chez A.C.E.C, pour l’ap- port de la documentation qui a servi à la rédaction des chapitres de physique quantique corpusculaire, ondulatoire, de physique quantique des champs et de calcul spinoriel et relati- vité générale; – Vincent Isoz, ingénieur diplômé en physique avec une spécialisation en génie nucléaire. Res- ponsable et créateur/développeur du site http://www.sciences.ch/ et rédacteur de la plus grande partie du contenu. – Ruben Ricchiuto, ingénieur physicien et mathématicien à l’université de Genève, pour sa pré- cieuse aide et disponibilité en physique des plasmas, électromagnétisme, physique quantique, statistiques, topologie, analyse et chimie quantique, et encore beaucoup d’autres domaines relatifs aux mathématiques pures. Introduction O mniprésentes dans l’industrie 1, ou dans les services 2, les mathématiques appliquées appa- raissent aussi dans de nombreux autres secteurs. Elles interviennent dans notre vie quotidienne et contribuent à la résolution de problématiques actuelles : énergie, santé, environnement, climato- logie, optimisation, développement durable... Leur grand succès prend racine dans leur fantastique dispersion dans le monde réel, évolutif et contingent, et leur intégration croissante à toutes les ac- tivités humaines. Nous évoluons lentement donc vers une situation où les mathématiciens n’auront plus le monopole des mathématiques, mais où des économistes, gestionnaires et marchands feront tous des mathématiques. Ceux qui entrevoient la mathématique appliquée que comme un outil ou comme l’ennemi des croyances religieuses, ou encore comme un domaine scolaire rébarbatif, sont légion. Il est cependant peut-être utile de rappeler que, comme le disait Galilée, « Le livre de la Nature est écrit dans le langage des mathématiques. » C’est dans cet esprit que ce document aborde la mathématique appliquée pour les étudiants en sciences de la nature, de la terre et de la vie, ainsi que pour tous ceux qui exercent une profession liée à ces diverses matières, y compris la philosophie, ou pour toute personne curieuse de s’informer de l’implication des sciences dans la vie quotidienne. La frontière entre la philosophie et les sciences pures et exactes est très ténue. Comme le relate Platon dans le Phédon, Socrate à ses dernières heures s’est entouré de ses amis et disciples, dont deux pythagoriciens Cébès et Simmias considérés comme interlocuteurs privilégiés. Ce n’est pas un hasard puisqu’il convient alors de philosopher, déjà, en s’inspirant du modèle pythagoricien qui fait des mathématiques une voie nécessaire d’accès à la vérité, seule capable de se frayer un chemin ﬁable pour aborder des sujets aussi importants que ceux de l’âme et de sa destinée. Le choix de traiter l’ingénierie ici comme une branche de la mathématique appliquée provient certainement du fait que l’ensemble des domaines de la physique et la mathématique sont à ce uploads/Philosophie/ elementsmathematiquesappliqueesv001.pdf