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MINISTER DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE Centre Uni

MINISTER DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE Centre Universitaire de Relizane Institut de Sciences et Techniques Département Mathématique Cours Algèbre 1- Math et Informatique pour 1 ère année avec les fiches TD Par: Beddani Abdallah baddanixabd@yahoo.fr Beddani 2018/2019 Table des Matières 1 Notions de logique 4 1.1 Assertions(ou proposition logique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Conjonction « et » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Disjonction «ou» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 La négation « P » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 L’implication = ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.5 L’équivalence ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Quanti…cateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Raisonnements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Raisonnement direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.3 Absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.4 Contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.5 Récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Ensembles et Applications 11 2.1 Les ensembles, dé…nitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.1 L’ensemble …ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2 Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.3 Intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.4 Union . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.5 Complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1 2.1.6 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Les applications, dé…nitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1 Composition d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Applications injectives, surjectives, bijectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.1 L’application réciproque (ou inverse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Images et images réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5 Restriction et prolongement d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Relations binaires sur un ensemble. 19 3.1 Dé…nitions de base : relation ré‡exive, symétrique, antisymétrique, transitive. . . 19 3.1.1 Relation binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Relations d’ordre - Dé…nition. Ordre total et partiel. . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2.1 Dé…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2.2 Ordre total et partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Relations d’équivalence, classe d’équivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3.1 Classe d’équivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 Structures algébriques 23 4.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1.1 Dé…nition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1.2 Partie stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Propriétés d’une loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2.1 Commutativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2.2 Associativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2.3 Elément neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2.4 Elément symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2.5 Distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Philosophie/ cous-algebre1-mi1-2017-2018-beddani-pdf.pdf