Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Chapitre III Calcul à la rupture et Analyse limite MOTS CLÉS Domaine de résista

Chapitre III Calcul à la rupture et Analyse limite MOTS CLÉS Domaine de résistance. Équilibre. Résistance . Chargements potentiellement supportables. Chargements extrêmes. Approche par l’intérieur. Approche par l’extérieur. Puissance résistance maximale. Champs de vitesse virtuels pertinents. Théorème d’association. Théorie des charges limites. 149 Chapitre III – Calcul à la rupture et Analyse limite 151 En br ef L’existence du chargement limite d’un système en matériau élastique parfaitement plastique sur un trajet de chargement donné est apparue comme résultant uniquement de la nécessaire compatibilité entre l’équi- libre du système et la condition de parfaite plasticité de son maté- riau constitutif. L’objet de l’Analyse limite est la détermination directe des chargements limites à partir de cette seule déﬁnition mathématique (section 1). Généralisant le propos, la théorie du Calcul à la rupture s’intéresse à la même problématique en substituant à la condition de parfaite plasticité le concept de condition de résistance. Celle-ci est déﬁnie, en chaque point du système, par la donnée d’un domaine convexe assigné au tenseur des contraintes ou, plus généralement, aux eﬀorts intérieurs. La déﬁnition des chargements potentiellement supportables par le sys- tème dans un mode de chargement qui dépend d’un nombre ﬁni (n) de paramètres est l’expression de la compatibilité « équilibre-résistance ». Tout chargement Q, qui peut être équilibré par un champ d’eﬀorts inté- rieurs statiquement admissible dans le mode de chargement et respectant la condition de résistance en tout point du système, est potentiellement supportable. Les chargements potentiellement supportables engendrent un domaine K convexe de Rn dont la frontière est constituée des chargements extrêmes (sections 2 et 3). Cette déﬁnition est le fondement de l’approche statique par l’intérieur du domaine K et de l’évaluation des chargements extrêmes par valeurs inférieures (section 3). La dualisation mathématique de la condition de compatibilité équilibre- résistance s’appuie sur le principe des puissances virtuelles. À partir de la connaissance du domaine de résistance du matériau constitutif en un point, qui est déﬁni dans l’espace des eﬀorts intérieurs, on introduit la fonction densité de puissance résistante maximale qui opère sur l’espace des taux de déformation virtuelle et est l’instrument de la déﬁnition duale de ce domaine. La puissance résistante maximale dans un champ de vitesse virtuel est l’intégrale spatiale de cette densité sur le système étudié. On démontre que la déﬁnition duale du domaine K résulte de l’énoncé 152 Chapitre III – Calcul à la rupture et Analyse limite suivant. Tout chargement Q, dont la puissance dans un champ de vitesse virtuel cinématiquement admissible dans la mode est supérieure à la puis- sance résistante maximale dans ce même champ, n’est pas potentiellement supportable. L’approche cinématique par l’extérieur du domaine K qui en résulte se révèle d’une grande facilité de mise en œuvre (section 3). Lorsque la combinaison des deux approches conduit à la détermina- tion exacte des chargements extrêmes, le champ d’eﬀorts intérieurs et le champ de vitesse virtuelle qui permettent cette détermination sont associés (section 4). Du point de vue pratique, l’analyse de la signiﬁcation des chargements potentiellement supportables et de leur pertinence vis-à-vis du dimension- nement du système considéré nécessite que l’on connaisse précisément la nature physique des phénomènes vis-à-vis desquels la condition de résis- tance est écrite avec la loi de comportement correspondante et dans le cas général, l’histoire de chargement subie par le système (section 3). Dans le cas d’un système en matériau élastique parfaitement plastique standard, les chargements extrêmes sont les chargements limites du sys- tème. Ceci assure que les chargements potentiellement supportables seront tous supportés par le système, quel que soit le trajet de chargement suivi. En outre, dans l’approche cinématique par l’extérieur, la puissance résis- tante maximale s’identiﬁe à la dissipation plastique (section 5). Les conditions de pertinence pratique, validée par l’expérience, des ré- sultats de la théorie du Calcul à la rupture dépassent heureusement le cadre de la parfaite plasticité standard. Elles impliquent principalement que les déformations nécessaires pour mobiliser les résistances prises en compte dans les éléments constitutifs concernés, soient physiquement com- patibles entre elles. La théorie du calcul à la rupture est le fondement du calcul aux États Limites Ultimes (E.L.U.) (section 6). Chapitre III – Calcul à la rupture et Analyse limite 153 Principales notations Notation Signiﬁcation 1ère formule Q chargement du système (1.3 à 1.5) ˆ ˙ q taux de déformation virtuelle du système (1.3 à 1.5) K ensemble des chargements potentiellement (2.8 à 2.10) (2.17) supportables G(x) domaine de résistance du matériau (2.12) Q× chargement extrême Figure 7 P(e)(Q, ˆ U) puissance virtuelle du chargement Q (3.23) π(x, ·) densité de puissance résistante maximale (3.24) π(x, n(x), ·) densité de puissance résistante maximale (3.25) Prm(ˆ U) puissance résistante maximale dans (3.27) le champ ˆ U ˆ V vitesse relative sur une interface (3.58) T vecteur-contrainte sur une interface Figure 11 Up champ de vitesse d’écoulement plastique (5.6) libre ˙ qp(t) taux de déformation du système en (5.6) écoulement plastique libre 154 Chapitre III – Calcul à la rupture et Analyse limite 1 De l’analyse limite au calcul à la rupture . . . . . . . . . 155 1.1 Charge limite d’une structure . . . . . . . . . . . . . . . 155 1.2 Chargements limites d’un système . . . . . . . . . . . . 156 1.3 Déﬁnition et objectifs de l’analyse limite . . . . . . . . . 157 1.4 L’idée directrice du calcul à la rupture . . . . . . . . . . 158 1.5 Organisation de l’exposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 2 Approche statique par l’intérieur . . . . . . . . . . . . . . 160 2.1 L’exemple d’une structure . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 2.2 Présentation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 2.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 3 Approches par l’extérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 3.1 Un exemple d’approche statique par l’extérieur . . . . . 172 3.2 Énoncé fondamental de l’approche cinématique . . . . . 175 3.3 Les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 3.4 Critères de résistance usuels et fonctions correspondantes179 3.5 Approche cinématique par l’extérieur . . . . . . . . . . . 184 3.6 Champs de vitesse virtuels pertinents . . . . . . . . . . 186 3.7 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 3.8 Remarque ﬁnale sur l’approche par l’extérieur cinématique192 4 Combinaison des approches statique et cinématique . . 192 4.1 Détermination exacte d’un chargement extrême . . . . . 192 4.2 Théorème d’association . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 4.3 Théorème d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 4.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 5 Du calcul à la rupture à l’analyse limite . . . . . . . . . . 197 5.1 Position du problème. Nouvelle interprétation du do- maine K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 5.2 Théorie des charges limites . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.3 Écoulement plastique libre et chargement limite . . . . . 199 5.4 Modèle de comportement rigide parfaitement plastique . 201 6 Repères historiques et actualité du calcul à la rupture . 201 6.1 Galilée et la poutre console . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.2 Coulomb et le concept de « forces coercitives » . . . . . 203 6.3 Le calcul à la rupture des ouvrages et des structures du génie civil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Récapitulatif des formules essentielles . . . . . . . . . . . . . 209 1 uploads/Philosophie/ chapitre-iii-calcul-a-la-rupture-et-anal-pdf.pdf