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Méthodes Numériques Cours et Travaux Dirigés Année accadémique 2012-2013 par Sa

Méthodes Numériques Cours et Travaux Dirigés Année accadémique 2012-2013 par Samuel BOWONG Table des matières Table des Matières 3 1 Concepts de bases et méthodologie du traitement numérique des pro- blèmes scientiﬁques 6 1.1 Méthodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Le problème posé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 La méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 L’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 La programmation scientiﬁque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 Traitement machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.7 Interprétation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.8 Notions de base en calcul numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.8.1 Utilisation des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.8.2 Utilisation des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.8.3 Discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.8.4 Les itérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.8.5 Erreurs d’arrondis et de troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.8.6 Problèmes instables ou mal conditionnés . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.9 Méthodes instables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Généralités sur l’ordinateur et sur les programmations structurées 10 2.1 Généralités sur l’ordinateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1 Les calculateurs électroniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2 Les utilitaires les plus rencontrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Généralités sur les programmations structurées . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Erreurs sur les solutions numériques 15 3.1 Sources des erreurs et classiﬁcation des erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Erreurs absolue et relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 Approximation numérique des fonctions 18 4.1 Approximation de la dérivée d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 4.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2 Interpolation et approximation des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2.2 Types d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2.3 Interpolation polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2.4 Interpolation de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5 Approximation numérique des intégrales 36 5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.1.2 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.2 Méthode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2.2 Calcul de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.3 Formule du point millieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.4 Méthode de trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.4.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.4.2 Calcul de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.5 Méthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.5.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.5.2 Calcul de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6 Résolution numérique des équations non linéaires 54 6.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.2 Méthode de dichrotomie ou de partage en deux . . . . . . . . . . . . . . . 55 6.2.1 La méthode . . . . . . . uploads/Philosophie/ mat-234.pdf