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Cours d’algebre pour la licence et le Capes Jean-Étienne ROMBALDI 6 juillet 200

Cours d’algebre pour la licence et le Capes Jean-Étienne ROMBALDI 6 juillet 2007 ii Table des matières Avant-propos v Notation vii 1 Éléments de logique et de théorie des ensembles 1 1.1 Quelques notions de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Les connecteurs logiques de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Quelques méthodes de raisonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Notions de base sur les ensembles. Quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Les symboles X et Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Les théorèmes de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 L’algèbre des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.8 Applications. Notions d’injectivité, surjectivité et bijectivité . . . . . . . . . . . 27 1.9 Cardinal d’un ensemble ﬁni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.10 Ensembles inﬁnis dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2 Le corps C des nombres complexes 41 2.1 Conditions nécessaires à la construction de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 Construction de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Conjugué et module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4 Les équations de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5 Les équations de degré 3 et 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.6 Arguments d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.7 Racines n-ièmes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.8 Représentation géométrique des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3 Espaces vectoriels réels 79 3.1 L’espace vectoriel Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2 Déﬁnition d’un espace vectoriel réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.4 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.5 La base canonique de Rn et expression matricielle des applications linéaires de Rn dans Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.6 Matrices réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.6.1 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.6.2 Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.6.3 Déterminant d’une matrice d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.6.4 Transposée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.6.5 Trace d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 iii iv 3.7 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.8 Sommes et sommes directes de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . 107 4 Espaces vectoriels réels de dimension ﬁnie 109 4.1 Systèmes libres, systèmes générateurs et bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2 Espaces vectoriels de dimension ﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.3 Rang d’un système de vecteurs ou d’une application linéaire . . . . . . . . . . . 120 4.4 Expression matricielle des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.5 Formules de changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5 Opérations élémentaires et déterminants 131 5.1 Opérations élémentaires. Matrices de dilatation et de transvection . . . . . . . . 132 5.2 Déterminants des matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 5.3 Déterminant d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.4 Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Avant-propos Ce livre est en construction. Cet ouvrage destiné aux étudiants préparant le Capes externe de Mathématiques et aux enseignants préparant l’agrégation interne fait suite au livre « Éléments d’analyse réelle pour le Capes et l’Agrégation Interne de Mathématiques ». v Notations N ensemble des entiers naturels. Z l’anneau des entiers relatifs. Q corps des nombres rationnels. R corps des nombres réels. C corps des nombres complexes. ℜ(z) partie réelle du nombre complexe z. ℑ(z) partie imaginaire du nombre complexe z. K [X] algèbre des polynômes à une indéterminée à coeﬃcients dans K = R ou C. Cp n coeﬃcient binomial. vii 1 Éléments de logique et de théorie des ensembles Pour les exemples et exercices traités dans ce chapitre les ensembles usuels de nombres entiers, rationnels réels et complexes sont supposés connus, au moins de manière intuitive comme cela se passe au Lycée. Nous reviendrons plus loin sur les constructions de ces ensembles. 1.1 Quelques notions de logique Nous allons préciser à un premier niveau uploads/Philosophie/ cours-d-x27-algebre-pour-la-licence-et-le-capes.pdf