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Les fonctions logiques & l’algèbre de Boole - page 1 Lycée LACHENAL - M. BERNAR

Les fonctions logiques & l’algèbre de Boole - page 1 Lycée LACHENAL - M. BERNARD - édité le 18/09/2008 1 - Algèbre de Boole Historique : Georges BOOLE, philosophe et mathématicien anglais, publia en 1854 un essai sur les raisonnements logiques portant sur les propositions auxquelles les seules réponses possibles sont oui ou non. L’ensemble des opérations découlant de ces propositions forme une structure mathématique, donc une algèbre, appelée « algèbre de BOOLE » . « L’algèbre de Boole » se caractérise par l’utilisation de variables ne pouvant prendre que deux états distincts. Ces deux états sont représentés par les valeurs 0 et 1. A noter : Cette algèbre de Boole est donc utilisée à chaque fois que, dans un système technique, on souhaite traduire, le comportement d’une grandeur physique sous forme de deux états distincts. Par exemple : - Position de la tige d’un vérin : tige rentrée ou sortie, - Etat d’un contact électrique : ouvert ou fermé - Détection présence d’un objet : présent ou absent - Etat d’un moteur : en rotation ou à l’arrêt etc. etc… Ces deux « états logiques » distincts se traduisent généralement par deux « niveaux de tension » distincts : présen- ce ou absence de tension. 2 - Quelques définitions Variable logique : grandeur, représentée par un identificateur (lettre ou nom) qui peut prendre les seules valeurs 0 ou 1. Niveau logique : En électronique, une variable logique est concrétisée par un signal électrique (tension ou courant) qui peut prendre deux niveaux électriques (ou niveaux logiques) : - le niveau logique Haut (H) ou High - le niveau logique Bas (L) ou Low par convention : Algèbre de BOOLE : Ensemble de variables à 2 états, de valeur, ou état "1" (vrai) ou "0" (faux) et muni d'un petit nombre d'opérateurs fondamentaux : NON, ET, OU. Fonction logique de n variables binaires : groupe de variables reliées par des opérateurs logiques (NON, ET, OU) Les fonctions logiques & l’algèbre de Boole Fonction logique E1 E2 Ei En S = f (E1, E2, …, Ei, …,En.) Variable Logique (ou état logique ) Niveau logique convention positive Niveau logique convention négative 0 Bas (L) Haut (H) 1 Haut (H) Bas (L) Les fonctions logiques & l’algèbre de Boole - page 2 Lycée LACHENAL - M. BERNARD - édité le 18/09/2008 3 - Notion de table de vérité Une table de vérité est une représentation graphique (tableau) faisant connaître la réaction du circuit logique, c’est à dire l’état de la sortie S en fonction de toutes les combinaisons de valeurs (0 ou 1) que peuvent prendre les variables binaires d’entrées E1, E2, …, Ei, …,En. Exemple d’une table de vérité pour une fonction logique à deux entrées E1 et E2 et une sortie S Nombre de variables d’entrées : Nombre de combinaisons de valeurs possibles pour les variables d’entrées : 4 - Équation logique à 1 d’une sortie « L’équation logique à 1 d’une sortie » traduit sous forme d’une équation mathématique, le comportement de la sortie de la fonction logique. Elle consiste en l’écriture d’une équation des cas où la sortie S de la fonction logique est égale à « 1 ». Nota : - Par abus de langage et par commodité l’expression « équation logique à 1 de la sortie » est sou- vent réduite à l’expression « équation logique » - « L’équation logique » peut être trouvée à partir de la table de vérité d’une fonction. Exemple : Rechercher l’équation logique de la fonction « OU EXCLUSIF » dont la table de vérité est donnée au paragraphe précédent ( c.f. § 3.1 ) Ecriture des cas où S est à « 1 » : Remarque : On verra par la suite qu’il est parfois possible de simplifier une équation logique. 5 - Les fonctions logiques de l’algèbre de Boole En général, dans un Système Technique Industriel S.T.I ;-) la chaîne électronique de traitement de l’infor- mation fonctionne avec des variables binaires. Cette chaîne de traitement est constituée par un assembla- ge de fonctions logiques représentatives de l’électronique numérique. E1 E2 S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Les fonctions logiques & l’algèbre de Boole - page 3 Lycée LACHENAL - M. BERNARD - édité le 18/09/2008 6 - Les opérateurs logiques de l’algèbre de Boole 6.1 L’opérateur logique NON (NOT) Symbole Européen : Symbole Américain : Table de vérité : Chronogrammes d’évolution : Equation logique à 1 de la sortie : Schéma à contacts : 6.2 L’opérateur logique OU (OR) Symbole Européen : Symbole Américain : Table de vérité : Chronogrammes d’évolution : Equation logique à 1 de la sortie : Schéma à contacts : E S E S t t S E t t E1 E1 E2 S t S E2 E1 S E2 Les fonctions logiques & l’algèbre de Boole - page 4 Lycée LACHENAL - M. BERNARD - édité le 18/09/2008 6.3 L’opérateur logique ET (AND) Symbole Européen : Symbole Américain : Table de vérité : Chronogrammes d’évolution : Equation logique à 1 de la sortie : Schéma à contacts : 7 - Les autres opérateurs logiques 7.1 L’opérateur logique OU-NON* (NOR) Symbole Européen : Symbole Américain : Table de vérité : Chronogrammes d’évolution : Equation logique à 1 de la sortie : * A noter : «OU-NON» est LA bonne traduction de l’acronyme « NOR ». Car il s’agit bien de l’opérateur logi- que « OU » suivi de l’opérateur « NON » [et pas le contraire]. Cependant par abus de langage on trouve cou- ramment l’expression « NON-OU » dans la littérature technique. t t E1 E1 E2 S t S E2 E1 S E2 t t E1 E1 E2 S t S E2 Les fonctions logiques & l’algèbre de Boole - page 5 Lycée LACHENAL - M. BERNARD - édité le 18/09/2008 7.2 L’opérateur logique ET-NON* (NAND) Symbole Européen : Symbole Américain : Table de vérité : Chronogrammes d’évolution : Equation logique à 1 de la sortie : Schéma à contacts : * A noter : «ET-NON» est LA bonne traduction de l’acronyme « NAND ». Car il s’agit bien de l’opérateur lo- gique « ET » suivi de l’opérateur « NON » [et pas le contraire]. Cependant par abus de langage on trouve couramment l’expression « NON-ET » dans la littérature technique. 7.3 L’opérateur logique OU-EXCLUSIF (XOR) Symbole Européen : Symbole Américain : Table de vérité : Chronogrammes d’évolution : Equation logique à 1 de la sortie : Schéma à contacts : t t E1 E1 E2 S t S E2 t t E1 E1 E2 S t S E2 Les fonctions logiques & l’algèbre de Boole - page 6 Lycée LACHENAL - M. BERNARD - édité le 18/09/2008 7.4 L’opérateur logique OUI Symbole Européen : Symbole Américain : Table de vérité : Chronogrammes d’évolution : Equation logique à 1 de la sortie : Schéma à contacts : 7.5 Représentation de fonctions logiques complexes : Le logigramme Le logigramme (ou diagramme logique) permet la représentation graphique d’une fonction logique complexe constituée d’un ensemble d’opérateurs interconnectés. La réalisation d’un logigramme consiste en l’association organisée d’opérateurs logiques traduisant une équation logique sans préjuger de la technologie adoptée. Exemple 1 : Dessiner le logigramme correspondant à l’équation logique S1 = (A.B)+(C.D) Exemple 2 : Trouver l’équation logique correspondant au logigramme ci-dessous : S = t E E S t S A B ≥ 1 S & 1 & 1 Les fonctions logiques & l’algèbre de Boole - page 7 Lycée LACHENAL - M. BERNARD - édité le 18/09/2008 Exercices : a) Etablir le logigramme correspondant à l’équation suivante S2 = (A + B) . (A + B) b) Etablir le logigramme correspondant à l’équation suivante S3 = (A . B) + (A . B) c) Etablir les tables de vérité correspondantes respectivement aux équations logiques de S1, S2 et S3. Les fonctions logiques & l’algèbre de Boole - page 8 Lycée LACHENAL - M. BERNARD - édité le 18/09/2008 d) Etablir les chronogrammes correspondants respectivement aux équations logiques de S1, S2 et S3. 8.1 Propriétés des opérateurs logiques (propriétés de l’algèbre de Boole) Les propriétés suivantes permettent d'effectuer des calculs dans l'algèbre de Boole : propriétés ET OU Application COMMUTATIVITE A . B = B . A A + B = B + A Les entrées d’un opérateur logique sont interchangeables ASSOCIATIVITE (A.B).C = A.B.C = A.(B.C) (A+B)+C = A + C + B = A + (B+C) Une fonction ou à 3 entrées peut être réalisée à partir d’opérateurs à 2 entrées. DISTRIBUTIVITE du OU par rapport au ET et du ET par rapport au OU ELEMENT NEUTRE A . 1 = A A + 0 = A A + (B.C) = (A+B) . (A+C) A. (B+C) = (A.B) +(A.C) ELEMENTS PRIORITAIRES A . 0 = 0 A + 1 = 1 COMPLEMENTATION A . A = 0 A + A = 1 IDEMPOTENCE A . A = A A + A = A Les fonctions logiques & uploads/Philosophie/ cours-e-logique-de-boole-2008.pdf