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Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Cours 1 : Logique mo

Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Cours 1 : Logique modale Odile PAPINI POLYTECH Universit´ e d’Aix-Marseille odile.papini@univ-amu.fr http://odile.papini.perso.esil.univmed.fr/sources/MASTER2-RE-OP.html Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Plan du cours 1 Bibliographie 2 Introduction 3 Logique modale propositionnelle Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Bibliographie 1 I Chellas B. F., Modal logic : an introduction, Cambridge University Press, 1980. Hughes G. E. & Cresswell M. J., A new introduction to modal logic, Taylor & Francis 2001. Blackburn. P. & de Rijke M. & Venema Y., Modal logic, Cambridge University Press 2001. Wooldridge., reasoning about rational agents, MIT Press, 2000. Wooldridge., An Introduction to multiagents systems, John Wiley & Sons, (second edition) 2009. Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Bibliographie 2 I Supports de cours logique modale http ://www.irit.fr/ Andreas.Herzig/CLmai/ http ://www.lipn.univ-paris13.fr/ levy/pdf/CoursLogMod.pdf http ://www.guillaume.piolle.fr/doc/logique-modale.pdf Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Logique modale propositionnelle : introduction Logique classique logique propositionnelle sens des formules facile ` a appr´ ehender complexit´ e calculatoire abordable MAIS s´ emantique et expressivit´ e limit´ ee logique des pr´ edicats plus expressive MAIS complexit´ e calculatoire ´ elev´ ee sens des formules parfois diﬃcile ` a comprendre Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Logique modale propositionnelle : introduction Limites de l’expressivit´ e de la logique propositionnelle logique classique : assertions factuelles binaires tout ´ enon¸ c´ e est qualiﬁ´ e de vrai ou de faux : il pleut, 2 + 2 = 5, · · · formules complexes valu´ ees en fonction de leurs composants : s´ emantique extensionnelle logique classique : pas toujours ad´ equate pour le raisonnement raisonnement sur l’incertain raisonnement sur les situations ´ evolutives Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Logique modale propositionnelle : introduction Logique modale : extension de la logique propositionnelle formalisation d’´ enon¸ c´ es non factuels raisonnement sur l’incertain et les situations ´ evolutives logique modale introduction de modalit´ es pour la compr´ ehension des formules expressivit´ e : entre la logique propositionnelle et la logique des pr´ edicats complexit´ e calculatoire maˆ ıtris´ ee Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Logique modale propositionnelle : introduction modalit´ e n’importe quoi qui donne du sens exprime la s´ emantique d’un verbe, d’un adjectif, d’un adverbe, · · · portant sur une formule exemples de modalit´ es “l’agent sait que”, “l’agent croit que”, “l’agent a conﬁance en le fait que”, “il sera dor´ enavant vrai que”, “il est possible que”, “il est n´ ecessaire que”, “il est ´ evident que”, “il est obligatoire que” · · · repr´ esentation et raisonnement ` a un niveau ´ elev´ e d’abstraction mod` ele mental d’un agent description d’une organisation, · · · Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Logique modale propositionnelle : introduction modalit´ es : exemples al´ etiques : il est possible qu’il pleuve ´ epist´ emiques : l’agent sait qu’il pleut, l’agent croit qu’il pleut temporelles : il va pleuvoir, il a plu d´ eontiques : il doit pleuvoir etc· · · autres modalit´ es ou m´ elanges de modalit´ es Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Logique modale propositionnelle : introduction Ajout de symboles de modalit´ e : □et ⋄ F une formule de la logique propositionnelle □F : F est n´ ecessaire, toujours vrai, connu, obligatoire, · · · ⋄F : F est possible, parfois vrai, concevable, permis, · · · impossibilit´ e de d´ eﬁnir une s´ emantique extensionnelle F ¬F □F ⋄F □¬F ⋄¬F 1 0 ? 1 0 ? 0 1 0 ? ? 1 s´ emantique bas´ ee sur les mondes possibles distinguer entre situations (alternatives imaginables) “mondes possibles” Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Logique modale propositionnelle : introduction s´ emantique des mondes possibles : exemple Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Logique modale propositionnelle : introduction carr´ e logique Aristote Figure: source : Jean-Claude Choul Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Logique modale propositionnelle : introduction Figure: source : cours G. Piolle Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Logique modale propositionnelle : introduction Soit p une proposition : “il pleut” exemples de formules ´ epist´ emiques p il pleut, ¬p il ne pleut pas, □p l’agent sait qu’il pleut, □¬p l’agent sait qu’il ne pleut pas, ⋄p l’agent tient pour concevable qu’il pleuve, ⋄¬p l’agent tient pour concevable qu’il ne pleuve pas, □□p l’agent sait qu’il sait qu’il pleut, □¬□p l’agent sait qu’il ne sait pas s’il pleut. Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Logique modale propositionnelle : introduction exemple : Le probl` eme des trois conseillers. J. Mc Carthy. 1978 Un roi d´ esirant savoir lequel de ses trois conseillers est le plu sagace peint un point blanc sur le front de chacun d’eux. Le roi leur dit qu’il a peint un point blanc ou un point noir sur le front de chacun et qu’au moins un des points est blanc ; il demande ensuite chaque conseiller de deviner la couleur de son propre point. Apr´ es un temps de r´ eﬂexion le premier r´ epond qu’il ne sait pas. Entendant cela le second r´ epond qu’il ne sait pas non plus. Apr´ es avoir entendu la r´ eponse des deux premiers, le troisi` eme d´ eclare que son point est blanc. Pourquoi ? Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Logique modale propositionnelle : introduction exemple : Le probl` eme des trois conseillers. J. Mc Carthy. 1978 Formalisation en logique modale multi-agents S5 si un conseiller a un point blanc les autres le savent si si un conseiller n’a pas de point blanc les autres le savent au moins un conseiller a un point blanc les conseillers 1 et 2 ne connaissent pas la couleur de leur point preuve Avec ces hypoth` eses on peut d´ emontrer par une d´ erivation en logique ´ epistemique S5 multi-agents que le troisi` eme conseiller sait qu’il a un point blanc. Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Logique modale propositionnelle Le langage de logique modale propositionnelle Vocabulaire un ensemble inﬁni d´ enombrable de propositions les constantes : 0 (Faux) et 1 (Vrai) les connecteurs : ¬, , ∧, ∨, →, ↔ les modalit´ es : □, ⋄ Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Logique modale propositionnelle D´ eﬁnitions formules bien form´ ees de la logique modale propositionnelle : • 0 et 1 sont des formules • une variable propositionnelle est une formule • si A et B sont des formules alors ¬ A, A∧B, A∨B, A →B, A ↔B sont des formules • si A est une formule alors □A, ⋄A sont des formules • si A est une formule alors ⋄A =def ¬□¬A Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Logique modale propositionnelle Syst` eme formel de la logique modale propositionnelle (syst` eme K) les axiomes soit A, B, C des formules de la logique modale propositionnelle A1) (A →(B →A)) A2) ((A →(B →C)) →((A →B) →(A →C))) A3) ((¬ A →¬ B) →(B →A)) K) (□(A →B) →(□A →□B)) Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Logique modale propositionnelle r` egles de d´ eduction modus ponens Γ ⊢A, ∆⊢A →B Γ, ∆⊢B n´ ec´ essit´ e (r` egle N) Γ ⊢A Γ ⊢□A Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Logique modale propositionnelle K-d´ erivation (d´ eduction) F : une formule modale, Γ : un ensemble de formules modales une K-d´ erivation de F ` a partir de Γ est une s´ equence de formules se terminant par F, dont chaque formule est : soit une axiome soit un membre de Γ soit obtenu par l’application des r` egles de substitution, de modus ponens ou de n´ ecessit´ e une K-preuve de F est une K-d´ erivation de F ` a partir de ∅: ⊢F Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Logique modale propositionnelle Quelques th´ eor` emes du syst` eme K K1) ⊢□(P ∧Q) →(□P ∧□Q) K2) ⊢(□P ∧□Q) →□(P ∧Q) K3) ⊢□(P ∧Q) ↔(□P ∧□Q) Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Logique modale propositionnelle r` egles d´ eriv´ ees DR1) ⊢A→B ⊢□A→□B DR2) ⊢A↔B ⊢□A↔□B DR3) ⊢A→B ⊢⋄A→⋄B Eq) si A ↔B remplacer A par B (ou B par A) Odile PAPINI MASTER SIS OPTION LOGIQUE Bibliographie Introduction Logique modale propositionnelle Logique modale propositionnelle r` egles d´ eriv´ ees plus g´ en´ erales : r´ egularit´ e pour □(r` egle R) Γ ⊢A →B Γ ⊢□A →□B r´ egularit´ e g´ en´ eralis´ ee pour □ Γ ⊢(A1 ∧· · · ∧An) →B Γ ⊢(□A1 ∧· uploads/Philosophie/ cours-log-mod-1 1 .pdf