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Logique(s) Langages Algorithmes module un – Logique(s) Dr. hab. Narendra Jussie

Logique(s) Langages Algorithmes module un – Logique(s) Dr. hab. Narendra Jussien ´ Ecole des Mines de Nantes IMA3 IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 1 Plan Plan du cours 1 Introduction 2 Logique des propositions 3 Logique du premier ordre 4 Logiques non classiques IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 2 Introduction Plan 1 Introduction 2 Logique des propositions 3 Logique du premier ordre 4 Logiques non classiques IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 3 Introduction D´ eﬁnition D´ eﬁnition (Logique (n. f.)) ´ Etude scientiﬁque des conditions de v´ erit´ e des propositions Mani` ere de raisonner Enchaˆ ınement coh´ erent d’id´ ees IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 4 Introduction Un (bref) historique De l’antiquit´ e ` a la logique moderne Aristote« Notion de pr´ edicat : « S est P » Syllogisme : « A →B et B →C donne A →C ». xive si` ecle Buridan« : g´ en´ eralisation de la logique d’Aristote xixe si` ecle Boole« et Frege« d´ etachent la logique de la philosophie et la rattachent aux math´ ematiques IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 5 Introduction Un (bref) historique De l’antiquit´ e ` a la logique moderne Aristote« Notion de pr´ edicat : « S est P » Syllogisme : « A →B et B →C donne A →C ». xive si` ecle Buridan« : g´ en´ eralisation de la logique d’Aristote xixe si` ecle Boole« et Frege« d´ etachent la logique de la philosophie et la rattachent aux math´ ematiques d´ eclic passage de l’implicite ` a l’explicite IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 5 Introduction D´ emarche du cours ´ Etude de la logique binaire dans la perspective de la d´ emonstration automatique IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 6 Introduction D´ emarche du cours ´ Etude de la logique binaire dans la perspective de la d´ emonstration automatique Logique des propositions (¬, ∧, ∨, . . .) IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 6 Introduction D´ emarche du cours ´ Etude de la logique binaire dans la perspective de la d´ emonstration automatique Logique des propositions (¬, ∧, ∨, . . .) Logique du premier ordre (∀, ∃, R, S, T, f , g, x, y, . . .) IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 6 Introduction D´ emarche du cours ´ Etude de la logique binaire dans la perspective de la d´ emonstration automatique Logique des propositions (¬, ∧, ∨, . . .) Logique du premier ordre (∀, ∃, R, S, T, f , g, x, y, . . .) ´ Etude de logiques non classiques IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 6 Introduction D´ emarche du cours ´ Etude de la logique binaire dans la perspective de la d´ emonstration automatique Logique des propositions (¬, ∧, ∨, . . .) Logique du premier ordre (∀, ∃, R, S, T, f , g, x, y, . . .) ´ Etude de logiques non classiques Quelques extensions de la logique classique IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 6 Introduction D´ emarche du cours ´ Etude de la logique binaire dans la perspective de la d´ emonstration automatique Logique des propositions (¬, ∧, ∨, . . .) Logique du premier ordre (∀, ∃, R, S, T, f , g, x, y, . . .) ´ Etude de logiques non classiques Quelques extensions de la logique classique – logique(s) modale(s) IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 6 Introduction D´ emarche du cours ´ Etude de la logique binaire dans la perspective de la d´ emonstration automatique Logique des propositions (¬, ∧, ∨, . . .) Logique du premier ordre (∀, ∃, R, S, T, f , g, x, y, . . .) ´ Etude de logiques non classiques Quelques extensions de la logique classique – logique(s) modale(s) – logique temporelle IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 6 Introduction D´ emarche du cours ´ Etude de la logique binaire dans la perspective de la d´ emonstration automatique Logique des propositions (¬, ∧, ∨, . . .) Logique du premier ordre (∀, ∃, R, S, T, f , g, x, y, . . .) ´ Etude de logiques non classiques Quelques extensions de la logique classique – logique(s) modale(s) – logique temporelle Quelques logiques rivales IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 6 Introduction D´ emarche du cours ´ Etude de la logique binaire dans la perspective de la d´ emonstration automatique Logique des propositions (¬, ∧, ∨, . . .) Logique du premier ordre (∀, ∃, R, S, T, f , g, x, y, . . .) ´ Etude de logiques non classiques Quelques extensions de la logique classique – logique(s) modale(s) – logique temporelle Quelques logiques rivales – logique(s) multivalente(s) (vrai, faux, ind´ etermin´ e) IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 6 Introduction D´ emarche du cours ´ Etude de la logique binaire dans la perspective de la d´ emonstration automatique Logique des propositions (¬, ∧, ∨, . . .) Logique du premier ordre (∀, ∃, R, S, T, f , g, x, y, . . .) ´ Etude de logiques non classiques Quelques extensions de la logique classique – logique(s) modale(s) – logique temporelle Quelques logiques rivales – logique(s) multivalente(s) (vrai, faux, ind´ etermin´ e) – logique ﬂoue IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 6 Logique des propositions Plan 1 Introduction 2 Logique des propositions Aspects syntaxiques Aspects s´ emantiques Aspects alg´ ebriques Aspects d´ eductifs La th´ eorie des nombres typographiques 3 Logique du premier ordre 4 Logiques non classiques IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 7 Logique des propositions Notion de proposition D´ eﬁnition Une proposition est un ´ enonc´ e du langage ordinaire consid´ er´ e du point de vue formel. Cet ´ enonc´ e est soit vrai soit faux mais pas les deux. IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 8 Logique des propositions Notion de proposition D´ eﬁnition Une proposition est un ´ enonc´ e du langage ordinaire consid´ er´ e du point de vue formel. Cet ´ enonc´ e est soit vrai soit faux mais pas les deux. Exemple « Le chat du voisin est mort » est une proposition IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 8 Logique des propositions Notion de valeur de v´ erit´ e Valeur de v´ erit´ e Proposition vraie si ad´ equation entre proposition et faits du monde r´ eel, fausse sinon IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 9 Logique des propositions Notion de valeur de v´ erit´ e Valeur de v´ erit´ e Proposition vraie si ad´ equation entre proposition et faits du monde r´ eel, fausse sinon Exemples Le chat du voisin est mort Jean consulte ses sources, en fait une synth` ese et passe ` a la phase d’´ ecriture IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 9 Logique des propositions ´ Etude du calcul propositionnel Quatre ´ etapes 1 Comment ´ ecrire les formules ? aspects syntaxiques 2 Comment d´ eterminer la valeur de v´ erit´ e d’une formule ? aspects s´ emantiques 3 Existe-t-il un lien entre logique et math´ ematique ? aspects alg´ ebriques 4 Comment d´ emontrer (automatiquement) de nouveaux r´ esultats ? aspects d´ eductifs IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 10 Logique des propositions Aspects syntaxiques Plan 1 Introduction 2 Logique des propositions Aspects syntaxiques Aspects s´ emantiques Aspects alg´ ebriques Aspects d´ eductifs La th´ eorie des nombres typographiques 3 Logique du premier ordre Aspects syntaxiques Aspects s´ emantiques Aspects d´ eductifs 4 Logiques non classiques Logiques modales Logiques multivalentes Logique ﬂoue IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 11 Logique des propositions Aspects syntaxiques Les donn´ ees Variables propositionnelles P = {p, q, r, . . .} Il s’agit d’´ enonc´ es ´ el´ ementaires Connecteurs logiques C = { ¬, ∧, ∨, →, ↔} IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 12 Logique des propositions Aspects syntaxiques F l’ensemble des formules du calcul propositionnel D´ eﬁnition (r´ ecursive) Toute formule F ∈F est de l’une des formes suivantes 1 F = p avec p ∈P, F est alors dite formule ´ el´ ementaire ; 2 F = ¬(H) avec H ∈F ; 3 F = (H)□(F) avec □∈{∧, ∨, →, ↔} et (H, K) ∈F2. IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 13 Logique des propositions Aspects syntaxiques F l’ensemble des formules du calcul propositionnel D´ eﬁnition (r´ ecursive) Toute formule F ∈F est de l’une des formes suivantes 1 F = p avec p ∈P, F est alors dite formule ´ el´ ementaire ; 2 F = ¬(H) avec H ∈F ; 3 F = (H)□(F) avec □∈{∧, ∨, →, ↔} et (H, K) ∈F2. Exemples (p) ∧(q) (p) →((p) →(q)) IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 13 Logique des propositions Aspects syntaxiques F l’ensemble des formules du calcul propositionnel D´ eﬁnition (r´ ecursive) Toute formule F ∈F est de l’une des formes suivantes 1 F = p avec p ∈P, F est alors dite formule ´ el´ ementaire ; 2 F = ¬(H) avec H ∈F ; 3 F = (H)□(F) avec □∈{∧, ∨, →, ↔} et (H, K) ∈F2. Exemples (p) ∧(q) (p) →((p) →(q)) Contre-exemples p ∧q (p)(q)∧ IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 13 Logique des propositions Aspects syntaxiques R` egles d’´ elimination des parenth` eses 1 Supprimer les parenth` eses entourant les variables 2 Tenir compte de la priorit´ e des connecteurs ordre standard : ¬, ∧, ∨, →, ↔ 3 Consid´ erer qu’un op´ erateur unaire l’« emporte » toujours sur un op´ erateur binaire IMA3 NJ/IMA/LLA/M1 14 Logique des propositions Aspects syntaxiques R` egles d’´ elimination des parenth` eses 1 Supprimer les parenth` eses entourant les variables 2 Tenir compte de la priorit´ e des connecteurs ordre standard : ¬, ∧, ∨, uploads/Philosophie/ cours-logique-la-transparents-m1.pdf