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Les infinitésimaux en analyse non standard Le calcul infinitésimal à fait son a

Les infinitésimaux en analyse non standard Le calcul infinitésimal à fait son apparition au XVIIème siècle, notamment sous l’impulsion du mathématicien allemand G. Leibniz. Son objectif était d’adjoindre aux nombres réels des quantités infiniment petites, et d’autres infiniment grandes, afin de manipuler au mieux le concept de passage à la limite. Au XIXème siècle, une définition précise et rigoureuse de la notion de limite, définition attribuée au mathématicien français A. Cauchy, éclaircit le ce concept et fait par conséquent disparaître les quantités infinitésimales jusqu’alors manipulées. Ces derniers font néanmoins leur retour en 1961 suite aux grands progrès réalisés en logique mathématique. En effet, cette année là, le mathématicien américain A. Robinson publie « Non-Standard Analysis » : il y construit une extension de ℝ où figurent des quantités infiniment petites à partir desquelles il reconstruit l’analyse moderne. Nous allons présenter ici une démarche qui permet de construire cette extension de ℝ, dont les éléments seront appelés nombres hyperréels. Nous verrons ensuite comment s’y traduit le calcul infinitésimal, puis le principe de transfert qui permet d’exploiter les nombres hyperréels en vue de l’étude des fonctions réelles. Ultrafiltre sur N Le point de départ de notre construction est la notion d'ultrafiltre. On appelle ultrafiltre sur un ensemble E tout ensemble U formé de parties de E vérifiant les axiomes suivants : a) ∅∉U , b) , , A B A B ∀ ∈ ∩ ∈ U U , c) , ( ), A B E A B B ∀ ∈ ∀ ∈ ⊂ ⇒ ∈ U P U , d) ( ), \ A E A E A ∀ ∈ ∈ ⇔ ∉ P U U . L'axiome du choix assure l'existence d'ultrafiltres sur l'ensemble ℕ des entiers naturels, ultrafiltre ne contenant aucune partie finie. Malheureusement, nous ne savons pas en exhiber. Cela n'a guère d'importance, il en existe, cela suffira. Dans la suite de notre étude nous supposons nous être donné un tel ultrafiltre U sur ℕ. Afin d’adopter un vocabulaire imagé, bien qu’approximatif, on convient de dire qu’une propriété ( ) n P est vérifiée « à l’infini » lorsqu’elle l’est au moins pour tout n d’une partie A de l’ultrafiltre U . Les nombres hyperréels Nous formons une extension, notée ℝ, de l'ensemble des nombres réels à partir de l’ensemble des suites réelles. On dit que deux suites réelles ( ) n u et ( ) n v sont équivalentes lorsque l’égalité n n u v = est vérifiée à l’infini. Par exemple, deux suites égales à partir d’un certain rang sont équivalentes. On identifie entre elles les suites équivalentes pour former des objets appelés nombres hyperréels et on note ℝ l’ensemble formé par ceux-ci1. Ainsi un hyperréel est représenté par une suite ( ) n x et toute suite ( ) n y équivalente à ( ) n x représente le même hyperréel, celui est noté ( ) n x . L’idée sous-jacente ici est semblable à celle de la représentation des nombres rationnels : plusieurs rapports d’entiers peuvent représenter un même nombre rationnel. En identifiant un réel r avec l’hyperréel représenté par la suite constante égale à r , on peut dire que ℝ est inclus dans ℝ. Cependant ℝ possède d’autres nombres que les réels comme par exemple : 1 1 n υ     =        + et ( ) n ω = . En posant : ( ) ( ) ( ) n n n n x y x y + = + et ( ).( ) ( ) n n n n x y x y = 2 on définit une opération additive et une opération multiplicative sur ℝ. On munit aussi ℝ d’une relation d’ordre définie par : ( ) ( ) n n x y ≤ ⇔ l’inégalité n n x y ≤ est vérifiée à l’infini. ℝ est alors muni d’une structure de corps totalement ordonné prolongeant la structure de ℝ. A ce stade, nous pouvons poser des opérations, résoudre des équations et étudier des inéquations dans le cadre des nombres 1 Plus rigoureusement, ℝ est l’ensemble des classes d’équivalence pour la relation d’équivalence présentée. 2 On vérifie que les résultats de ces opérations sont indépendants des suites ( ) n x et ( ) n y choisies pour représenter les hyperréels manipulés. hyperréels. On peut aussi définir la valeur absolue d’un hyperréel en fonction de son signe et on observe aisément : ( ) ( ) n n x x = . Calcul infinitésimal On adopte le vocabulaire suivant : • Un hyperréel a est dit infiniment petit ssi *, r a r + ∀∈ ≤ ℝ . • Un hyperréel a est dit infiniment grand ssi r ∀∈ℝ, a r ≥ . • Enfin, un hyperréel a est dit limité ssi il n’est pas infiniment grand. L’hyperréel υ présenté ci-dessus est un infiniment petit mais ce n’est pas le seul, tout hyperréel associé à une suite de limite nulle est un infiniment petit. De même, il existe de nombreux infiniment grands parmi lesquels l’hyperréel ω . A partir de ces définitions, c’est sans difficultés qu’on établit les résultats suivants du calcul infinitésimal : • La somme de deux infiniment petits en est un. • Le produit d’un infiniment petit et d’un limité est un infiniment petit. • L’inverse d’un infiniment grand est un infiniment petit,... Halo d’un réel et ombre d’un hyperréel limité Nous avons ainsi défini une extension de ℝ où figurent des nombres infiniment grands et infiniment petits. La présence de ces nombres implique, pour chaque réel, l’existence de nombres infiniment proches de ce réel. Précisons-nous, deux hyperréels x et y sont dits infiniment proches lorsque leur différence est un infiniment petit, on note alors x y ≈ . L’ensemble des hyperréels infiniment proches d’un réel donné est appelé halo de ce réel. Par exemple, les infiniment petits sont les éléments du halo de 0. En dehors des infiniment grands et des hyperréels appartenant au halo d’un réel, il n’existe pas d’autres nombres hyperréels. En effet, lorsqu’un hyperréel limité x est donné, on peut montrer (voir encadré) que celui-ci est infiniment proche d’un et d’un seul nombre réel et donc appartient à son halo. Ce nombre réel est appelé ombre de x et est noté x . Il se comprend comme étant la partie visible sur la droite réelle de l’hyperréel x . Par exemple, l’ombre de l’hyperréel υω est 1. Un hyperréel limité ne différant de son ombre que d’un infiniment petit, il est aisé, par calcul infinitésimal, d’établir , x y ∀ ∈ℝ limités, ( ) x y x y + = + , ( ) xy x y = et x y x y < ⇒ ≤ . Extension des objets réels aux hyperréels Etant donnée une partie A de ℝ, on note A l’ensemble des hyperréels ( ) n x tels que pour tout n ∈ℕ, n x A ∈ . L’ensemble A se comprend comme étant l’extension naturelle de A dans ℝ. Parmi ces extensions figure ℕ dont les éléments sont appelés nombres hypernaturels. Par exemple ω en est un hypernaturel. Une fonction réelle f définie sur une partie D de ℝ s’étend naturellement en une fonction : f → D ℝ en posant pour tout x ∈D représenté par une suite ( ) n x d’éléments de D , ( ) ( ( )) n f x f x = . Le principe de transfert Tout énoncé relatif aux fonctions réelles peut se transposer aux hyperréels à l’aide des extensions précédentes. Par exemple l’énoncé traduisant la croissance de : f → D ℝ s’écrit , , ( ) ( ) x y x y f x f y ∀ ∈ ≤ ⇒ ≤ D et se transpose , , ( ) ( ) x y x y f x f y ∀ ∈ ≤ ⇒ ≤ D . La théorie des langages permet d’établir le théorème suivant : Ombre d’un hyperréel Considérons x une hyperréel limité. Etablissons l’existence et l’unicité d’un réel r tel que x r ≈ . Unicité : Si r et r′ conviennent alors r r′ ≈ donc r r′ − est un infiniment petit. Or r r′ − est un réel, donc 0 r r′ − = . Existence : Considérons l’ensemble A formé des nombres réels inférieurs à x . Cet ensemble est une partie de ℝ non vide et majorée car l’hyperréel x est supposé limité. Posons r la borne supérieure de A . Pour tout 0 ε > , on montre r x r ε ε −≤ < + donc r x ≈ . Un énoncé réel est vrai ssi l’énoncé hyperréel qui lui correspond l’est. Ce résultat est connu sous le nom de principe de transfert, c’est le théorème essentiel de la théorie ici présentée. Grâce à lui toute propriété réelle se transpose aux hyperréels. Par exemple la formule de développement du cosinus d’une somme uploads/Philosophie/ ans.pdf