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Filière : SMI Semestre 3 Module 18 Cours calcul des probabilités et variables a

Filière : SMI Semestre 3 Module 18 Cours calcul des probabilités et variables aléatoires Par le Professeur HAKAM Samir Année : 2017- 2018 Table des matières Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv 1 Notions de Probabilités 1 1.1 Langage de Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Expérience aléatoire et ensemble des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Evénements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Opérations sur les événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.4 Langage probabiliste des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Déﬁnition et propriétés d’une Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3 Probabilité sur un ensemble ﬁni ou dénombrable . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3.1 Probabilité sur un ensemble ﬁni ou dénombrable . . . . . . . . . . 5 1.2.3.2 Equiprobabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Analyse Combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 Cardinal d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.3 Arbre de dénombrement : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.4 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.4.1 Permutation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.4.2 Echantillons ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.4.3 Echantillons non ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.5 Exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Probabilités Conditionnelles-Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.1 Probabilité Conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2 Arbre de probabilité : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.3 Théorème des Probabilités Totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.4 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.5 Evénements Indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Variables aléatoires 17 2.1 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Diﬀérents types de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i 2.2 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 Variable aléatoire discrète 19 3.1 Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.1 Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.2 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2 Loi de probabilité d’un couple de v.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2.1 Lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.2 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2.4 Loi de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2.5 Loi du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3.1 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3.2 Moments . . . . . . . . . . . uploads/Philosophie/ cours-probabilite.pdf