Ecole Supérieure PRivée d'Ingénierie et Technologies Spécialité: Mathématiques

Ecole Supérieure PRivée d'Ingénierie et Technologies Spécialité: Mathématiques Élaboré par Riahi Mohamed Hédi Support pédagogique Programmation Non Linéaire: Contents 1 Rappel sur les propriétés topologique de Rn 1 1.1 Espace Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Notion de distance dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Norme sur Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Notions topologiques associées à une norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES 6 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.1 Dé nition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.1.1 Dé nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Limite d'une fonction de Rn dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.1 Dé nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.2 Exemples et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Continuité d'une fonction de Rn dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4.1 Dé nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5 Fonctions diérentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5.1 Dérivées partielles, gradient et matrice jacobienne . . . . . . . . . . . 13 2.5.2 Dérivée suivant un vecteur-Dérivée directionnelle . . . . . . . . . . . . 16 2.5.3 Dérivées partielles d'ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Optimisation des fonctions de plusieurs variables 20 3.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.1 Notions sur la convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.1.1 Ensemble convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.1.2 Fonction convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.2 Exemples de problèmes d'optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Résultats d'existence et d'unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2.1 Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2.2 Unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3 Optimisation sans contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ii CONTENTS iii 3.3.1 Condition d'optimalité du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3.2 Condition d'optimalité du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4 Optimisation avec contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4.1 Contraintes en égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4.2 Contraintes en égalité et en inégalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Algorithmes d'optimisation 32 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3 Méthode du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Mohamed Hédi Riahi Chapter 1 Rappel sur les propriétés topologique de Rn Sommaire 1.1 Espace Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Notion de distance dans Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Norme sur Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.4 Notions topologiques associées à une norme . . . . . . . . . . . 3 1 1.1. ESPACE RN 2 1.1 Espace Rn On désigne par Rn, n ∈N∗, l'ensemble de tous les n-uples (x1, x2, ...., xn) où xi, i = 1, ..n sont des nombres réels. Ainsi: Rn = {(x1, x2, ...., xn), xi ∈R∀i ∈{1, ..., n}} • Rn est un R espace vectorielle dont la base canonique est (e1, e2, ..., en) avec e1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, 0, ..., 0),... et en = (0, 0, ...., 0, 1). • Si X = (x1, x2, ..., xn) ∈Rn et Y = (y1, y2, ..., yn) ∈Rn alors:  X + Y = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn) ∈Rn.  ∀λ ∈R, λ.X = (λx1, λx2, ..., λxn). 1.2 Notion de distance dans Rn on appelle distance sur un ensemble E de Rn, une application dé nie de E × E à valeurs dans R+ notée d qui à tout couple (x, y) uploads/Philosophie/ cours-programmation-non-lineaire.pdf

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