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Valeurs absolues Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ VALEUR ABSOLUE ET E

Valeurs absolues Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ VALEUR ABSOLUE ET ENCADREMENTS 1. Distance entre deux nombres réels 1.1. Définition : On appelle distance ou écart entre 2 réels x et y, la distance sur la droite numérique entre les points d'abscisses x et y ; on la note d(x ; y). Exemples : Sur la droite réelle, on considère les points ci-dessous : On a alors : d(0 ; –4) = OA = 4 d(–3 ; –4) = DA = 1 d(0 ; –3) = OD = 3 d(1 ; 3) = BC = 2 d(0 ; 3) = OC = 3 d(–3 ; 3) = DC = 6 1.2. Cas particulier : La distance entre 0 et x est égale à :    x x x x si est positif si est negatif − Autrement dit : d(0 ; x) = max(−x ; x) De même, pour la distance entre deux réels x et y, on est amené à distinguer deux cas : La distance entre x et y est égale à :    y x y x x y x y − − si est plus grand que si est plus grand que Conclusion : d(x ; y) est parmi les différences y – x et x – y celle qui est positive. Autrement dit : d(x ; y) = max(y − x ; x − y) Remarque : la notion de distance est symétrique : d(x ; y) = d(y ; x). 2. Valeur absolue d'un nombre réel 2.1. Définition : On appelle valeur absolue d'un réel x la distance (ou l'écart) entre 0 et x. On la note |x|. On a donc : |x| = d(x ; 0). 2.2. Autres caractérisations : • |x| = max(−x ; x). • |x| = x × sgn(x) où sgn est la fonction "signe" définie par sgn(x) = 1 0 0 0 1 0 si si si x x x > = − <      . • |x| = 2 x . Exercice : écrire sans les valeurs absolues l'expression : |x − 2| + |2x + 1| (On pourra faire un tableau en distiguant les trois cas : x  −1 2 ; −1 2 < x  2 et x > 2) C B O D A 0 4 3 2 1 –1 –2 –3 –4 Valeurs absolues Page 2 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ 2.3. Propriétés de la valeur absolue Langue française Langage mathématique P1 La valeur absolue d'une quantité A est un nombre positif |A|  0 pour tout A ∈  P2 Une quantité A dont la valeur absolue est nulle est nulle. |A| = 0 entraine A = 0 P3 Deux quantités dont les valeurs absolues sont égales sont soit égales soit opposées. |A| = |B| entraine A = B ou A = –B P4 La valeur absolue d'un produit est égale au produit des valeurs absolues. |AB| = |A| |B| P5 La valeur absolue d'un quotient est égale au quotient des valeurs absolues. A A B B = lorsque B ≠ 0 P6 La valeur absolue d'une somme est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues |A + B|  |A| + |B| (Inégalité triangulaire) 2.4. Théorème : Quels que soient les réels x et y, on a : d(x ; y) = |x – y| 2.5. Théorème : Si A  B et −A  B alors |A|  B et réciproquement. Variante : −B  A  B ⇔ |A|  B Exercices d'application des propriétés et des théorèmes : Concerne Résoudre les équations ci-dessous Solution(s) P2 et P3 |2x –3| = 0 |3x + 4| = |2x +6| |x| = 9 |2 – x| = –5 P4 |1 – x| |1 + x| = 9 Théorème 2.4. ou P3 |x – 2| = 5 |x + 3| = 4 Exercice sur l'inégalité triangulaire : Démontrer que pour tous réels A et B, on a : A B −  |A − B| On a |A| = |A − B + B|  |A − B| + |B| d'où : |A| − |B|  |A − B| De même, |B| = |B − A + A|  |B − A| + |A| = |A − B| + |A| d'où : |B| − |A|  |A − B| Et d'après le théorème 2.5. : A B −  |A − B| Valeurs absolues Page 3 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ 3. Représentation graphique des fonctions "valeur absolue" Les représentations graphiques des fonctions de la forme x a |x − a| ont la même allure en forme de "V". 4. Encadrements d'un nombre réel 4.1. Définition : Soit x un nombre réel. Réaliser un encadrement de x, c'est trouver deux nombres réels a et b tels que a  x  b. Le nombre b – a s'appelle l'amplitude de l'encadrement. Exemples : Encadrement : Amplitude : 1 2  2 1 1,414  2  1,415 10–3 3,14  π  3,15 10–2 Exercice : Sachant que |x – 3| < 2×10–3, donner un encadrement de x : 2,998 < x < 3,002 Comme le suggère cet exercice, on dit que 3 est une valeur approchée de x à 2 × 10–3 près. On énonce, de façon plus générale la définition suivante : 4.2. Définition : Lorsque |x – a|  ε, on dit que a est une valeur approchée de x à ε près. Lorsque a  x  a + ε, on dit que a est une valeur approchée de x à ε près par défaut. Lorsque a – ε  x  a, on dit que a est une valeur approchée de x à ε près par excès. Exemple : Ptolémée, mathématicien grec du IIème siècle, utilisait comme valeur approchée de 3 le nombre : a = + + 103 60 55 60 23 60 2 3 En utilisant la calculatrice, on obtient : a  1,73205092593 Or 3  1,73205080757 donc a est une valeur approchée de par 3 excès. Il y a 6 décimales exactes donc ε = 10–6. (Et même ε = 1,2×10–7) y y x x a O O ƒ : x a |x − a| ƒ : x a |x| Valeurs absolues Page 4 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Exercice de synthèse : compléter le tableau suivant : en termes de : valeur absolue distance intervalle encadrement |x – 3|  1 d(x ; –4)  2 x ∈ [6 ; 10] –2 < x < 2 Exercice sur les encadrements Démontrer que : −A  X  A ⇔ |X|  A On a : −A  X  A ⇔ −A  X et X  A ⇔ X  A et −X  A ⇔ |X|  A (d'après le théorème 2.5.) 5. Centre et rayon d'un intervalle Étant donné un intervalle [a ; b], son centre c et son rayon r sont donnés par les formules : c = a b + 2 r = b a − 2 Exercice : démontrer que max(a, b) = a b + 2 + b a − 2 et que min(a, b) = a b + 2 − b a − 2 . Si a  b alors max(a, b) = b et a b + 2 + b a − 2 = a b + 2 + b a − 2 = b Si a  b alors max(a, b) = a et a b + 2 + b a − 2 = a b + 2 − b a − 2 = a Dans tous les cas, on a bien : max(a, b) = a b + 2 + b a − 2 . On procède de même pour prouver l'égalité min(a, b) = a b + 2 − b a − 2 On a donc prouvé : max(a, b) = c + |r| et min(a, b) = c − |r|. Remarque : en général, a  b et r  0... 6. Quelques démonstrations Propriétés de la valeur absolue : P1 : évident. P2 : |A| = 0 ⇒ A × sgn(A) = 0 ⇒ (A = 0 ou sgn(A) = 0) ⇒ A = 0. P3 : |A| = |B| ⇒ A × sgn(A) = B × sgn(B) ⇒ (A = B ou A = − B). P4 : |AB| = A × B × sgn(AB) = A × B × sgn(A) × sgn(B) = A × sgn(A) × B × sgn(B) = |A| × |B|. P5 : idem P4. Théorème 2.4. : (A  B et −A  B) ⇔ max(−A ; A)  B ⇔ |A|  B Valeurs absolues Page 5 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Inégalité triangulaire : on distingue 4 cas Cas 1 : A  0 et B  0 : dans ce cas A + B  0. On a donc : |A + B| = A + B = |A| + |B| (On a égalité dans ce cas) Cas uploads/Philosophie/ cours-sur-la-valeur-absolue-classe-de-seconde.pdf