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70% APPLICATIONS 30% COURS Gérard Neuberg MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES ET ACTUARIE

70% APPLICATIONS 30% COURS Gérard Neuberg MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES ET ACTUARIELLES © Dunod, Paris, 2012 ISBN 978-2-10-058603-5 Avant-propos V TD Prérequis 1 L’essentiel 1 Voir aussi 10 QCM 11 Réflexion 15 Entraînement 16 TD Taux de variation 20 L’essentiel 20 Voir aussi 28 QCM 29 Réflexion 31 Entraînement 33 TD Indices boursiers 38 L’essentiel 38 Voir aussi 47 QCM 48 Réflexion 52 Entraînement 54 TD Intérêts simples 58 L’essentiel 58 Voir aussi 67 QCM 68 Réflexion 71 Entraînement 72 TD Intérêts composés 74 L’essentiel 74 Voir aussi 83 QCM 84 Réflexion 87 Entraînement 88 Sommaire 1 2 3 4 5 TD Mathématiques financières et actuarielles TD Actualisation 91 L’essentiel 91 Voir aussi 99 QCM 100 Réflexion 105 Entraînement 107 TD Rentes constantes 112 L’essentiel 112 Voir aussi 123 QCM 124 Réflexion 128 Entraînement 129 TD Rentes et modèles financiers en temps continu 132 L’essentiel 132 Voir aussi 145 QCM 146 Réflexion 150 Entraînement 152 TD Calcul actuariel obligataire 153 L’essentiel 153 Voir aussi 164 QCM 165 Réflexion 169 Entraînement 173 TD Amortissement des emprunts indivis 176 L’essentiel 176 Voir aussi 182 QCM 183 Réflexion 186 Entraînement 187 Sujets d’annales 191 Annexe 1 : fonction intégrale de la loi normale 225 Annexe 2 : sigles et abréviations 226 Annexe 3 : notations 230 Glossaire des termes français 233 Glossaire des termes anglais 240 Index 247 6 7 8 9 10 « Il faut être fou ou économiste pour croire qu'une croissance exponentielle puisse se maintenir indéfiniment dans un monde fini 1. » (Kenneth Ewart Boulding, 1910-1993, économiste). Dans un contrat de prêt, les sommes à rembourser sont rarement explicites, en euros sonnants et trébuchants. La plupart du temps, elles résultent d’un calcul faisant intervenir un taux d’intérêt, une grandeur qui semble familière. Mais ce n’est qu’une impression... puisqu’en 1966 notre législateur a jugé nécessaire d’en préciser l’usage par la loi ! Il faut dire que les organismes de crédit abusaient de la crédulité des consommateurs. Quand la France a modifié sa réglementation, en 2002, pour la rendre conforme aux normes européennes, les lecteurs du Journal Officiel de la République Française ont dû être bien surpris d’y découvrir plusieurs pages de mathématiques relatives au calcul des taux d’intérêt, avec exercices corri- gés, agrémentés de résolutions d’équations par itérations successives. On peut rêver et penser qu’avant de signer les décrets, notre premier ministre de l’époque, Jean-Pierre Raffarin, a ressorti ses cours de math fi de l’ESCP pour tout vérifier. Avant-propos © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. 1 « Anyone who believes exponential growth can go on forever in a finite world is either a mad- man or an economist » VI TD Mathématiques financières et actuarielles Mathématiques financières et actuarielles La méthode comptable est conçue pour résumer une activité économique passée en regroupant puis additionnant des dépenses et des recettes enregis- trées, donc certaines, pendant une durée raisonnable. Elle révèle ses limites quand on souhaite l’étendre à des périodes trop longues et/ou à une activité économique future, donc incertaine. Les mathématiques financières et actua- rielles proposent d’adapter la méthode pour tenir compte du prix du temps et du prix du risque. Mêmes connues avec certitude, les recettes et les dépenses ressemblent en effet de plus en plus à des « torchons et des serviettes » qu’on ne doit pas mélan- ger quand elles sont relatives à des dates trop différentes. Ainsi, les banquiers qui s’obstinent à comparer les coûts des diverses propositions de crédit qu’ils proposent à leurs clients et dont les remboursements s’étalent parfois sur des dizaines d’années, feraient bien de consulter, de toute urgence, les décrets n°2002-927 et 2002-928 du 10 juin 2002 dont il a été question précédem- ment puis de méditer... la Loi. Par ailleurs, l’addition de recettes et de dépenses prévisionnelles est encore bien plus délicate à interpréter car les montants, les dates de versement et même le prix du temps, sont autant de paramètres aléatoires. Les maths fi des banquiers L’appellation Mathématiques financières est devenue ambiguë en ce début de troisième millénaire. Les traders spécialistes du quantitatif du front office, surnommés « Quants », utilisent en effet des mathématiques de la finance qui n’ont pas grand-chose à voir avec les calculs financiers traditionnels dont se servent quotidiennement les professionnels de la gestion d’actifs « back et middle offices », c’est-à-dire ceux qui assurent le suivi des opérations financières. Ainsi, les « Grecques » et les équations différentielles stochastiques (EDS) dont parlent les premiers paraîtront sans doute ésotériques aux seconds... Cet ouvrage présente des calculs qui concernent vraiment Monsieur et Madame Tout-le-Monde. Des taux effectifs globaux (TEG) sont par exemple mentionnés dans les publicités qui inondent leurs magazines, leurs journaux et la télévision ; ils en trouvent même sur les affiches du métro parisien ou en devanture des agences des banques. Les candidats à une licence pro ou à un master pro « assurance, banque, finance », doivent bien entendu maîtriser le fonctionnement de ces mathé- matiques financières là ainsi qu’un jargon, objet de réglementations quasi- ment identiques, depuis peu, dans tous les États membres de la Communauté Européenne. Certains paragraphes et exercices, signalés par un renvoi en bas Avant-propos VII © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. de page sont du niveau master. Ils peuvent donc être ignorés par les candidats à la licence. En tentant de résoudre les nombreux QCM2, exercices et problèmes d’exa- mens dont les « solutions » sont disponibles sur le site des éditions Dunod, un futur professionnel aura intérêt à se constituer un aide-mémoire dont le contenu dépendra de sa formation antérieure. Sitôt diplômé, ce dernier sera aidé par de fabuleux micro-ordinateurs qui ne font jamais d’erreurs... humaines et qui permettent aujourd’hui de se jouer de calculs souvent complexes, réser- vés autrefois à des spécialistes. Mais comprendre les questions posées demeure encore une étape préalable indispensable pour espérer pouvoir y répondre ou trouver une aide efficace auprès de collègues, spécialistes ou non. Enfin, tout change maintenant tellement vite dans la finance d’aujourd’hui qu’un futur banquier doit savoir qu’il devra compléter sa formation en actua- lisant continuellement ses connaissances. Ce dernier constatera en parcourant les sites internet concernant sa profes- sion que l’anglais est la langue de référence de la finance d’aujourd’hui. On peut d’ailleurs lire dans le Rapport 2007 au Parlement de la Délégation Générale à la Langue Française (DGLF) qu’« À la Banque centrale européenne (BCE) et à la Banque européenne d’investissement (BEI), l’anglais est largement majoritaire ». La situation n’étant pas près de changer, une partie du jargon anglo-américain est présent dans ce livre, en particulier à la première appari- tion d’un terme financier3. Qu’on le déplore ou non, l’université française devra un jour ou l’autre dis- penser ses enseignements de finance également en anglais... Sandrine Lardic, Hélène Raymond, Laurence Scialom, Yamina Taddjedine, Michel Boutillier, Patrice Bertail, Jean-Bernard Chatelain et Didier Folus ont eu bien du courage d’accepter d’ouvrir des formations professionnalisantes (licences et masters) à l’UFR de Sciences économiques, gestion, mathéma- tiques et informatique (SEGMI) de l’Université de Paris Ouest Nanterre La Défense. Ils m’ont confié le soin de concevoir un contenu pour les maths fi de futurs banquiers et financiers. J’ai donc imaginé ce que des clients vrai- ment exigeants devraient souhaiter qu’ils sachent à l’aube du 3e millénaire pour prétendre être à même de leur prodiguer quelques conseils. Certains de ces derniers seront peut-être intéressés... Je remercie particulièrement Sandrine Lardic qui a accepté la très impor- tante mais fastidieuse tâche de relire mon manuscrit. Selon l’expression consacrée, je demeure seul responsable des erreurs qui subsistent. 2 Un QCM de révision (Review Quiz) supplémentaire et sa correction, disponibles sur www.dunod.com, sont proposés aux étudiants curieux et courageux qui souhaitent s'évaluer à l'aune des exigences professionnelles anglo-saxonnes. 3 Des caractères gras indiquent la première occurrence d'un terme financier en français et des caractères italiques, en anglais. à Jérémie © Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Ce TD préliminaire a pour objet de vérifier que l’étudiant possède bien le jargon financier et économique de base indispensable. Jusqu’au Master compris, les mathématiques vraiment utiles pour suivre un parcours uni- versitaire de finance sont celles exigées au baccalauréat général des séries S et ES. 1 Le temps et la finance 1.1 Court terme, long terme Les financiers et les comptables repèrent le plus souvent les flux de tréso- rerie – cash flow – en temps discret – discrete time –, à des dates de valeur – value dates – (des jours) en utilisant le calendrier civil. Le Code monétaire et financier encadre la pratique bancaire des dates de valeur dans les opérations de crédit et de débit (cf. L131-1-1 pour les chèques et L133-14 pour les virements). Comptabiliser les crédits avec retard sur les comptes bancaires et les dates de débit en avance, n’est autorisée en France que pour l’encaissement des chèques. Les mathématiques financières – mathematics of interest rates – et la comptabilité ne distinguent que les échéances inférieures et supérieures à un an, appelées respectivement court terme – short term – et long terme uploads/Philosophie/ mathematiques-financieres-et-actuarielles-pdf.pdf