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Sujets et corrigés des DS de mathématiques et d’informatique BCPST1A lycée Hoch

Sujets et corrigés des DS de mathématiques et d’informatique BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 Sébastien Godillon Table des matières Sujet du DS no 1 (mathématiques, 3h) 3 Corrigé du DS no 1 5 Exercice 1 (logique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Exercice 2 (nombres réels, sommes, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Exercice 3 (nombres réels, polynômes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Exercice 4 (nombres réels, équations, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Sujet du DS no 2 (mathématiques, 3h) 13 Corrigé du DS no 2 15 Exercice 1 (nombres complexes, équations, sommes, produits) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Exercice 2 (sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Exercice 3 (nombres complexes, équations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Exercice 4 (sommes, nombres complexes, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Exercice 5 (sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Sujet du DS no 3 (mathématiques, 3h) 25 Corrigé du DS no 3 27 Exercice 1 (suites, sommes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Exercice 2 (dénombrement, applications) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Exercice 3 (dénombrement, suites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Exercice 4 (équivalents, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Sujet du DS no 4 (mathématiques, 3h) 35 Corrigé du DS no 4 37 Exercice 1 (équations diﬀérentielles) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Exercice 2 (matrices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Problème (dénombrement, suites, sommes, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 1 sur 109 Sébastien Godillon Sujet du DS no 5 (mathématiques, 3h) 47 Corrigé du DS no 5 49 Exercice 1 (polynômes, nombres complexes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Exercice 2 (géométrie, systèmes linéaires) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Exercice 3 (polynômes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Exercice 4 (géométrie, matrices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Sujet du DS no 6 (mathématiques, 3h) 63 Corrigé du DS no 6 65 Exercice 1 (probabilités, matrices, suites, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Exercice 2 (statistiques, fonctions de deux variables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Exercice 3 (polynômes, nombres complexes, trigonométrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Sujet du DS no 7 (mathématiques, 3h) 76 Corrigé du DS no 7 78 Exercice 1 (étude de fonctions, continuité, suites, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Exercice 2 (logique, continuité) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Exercice 3 (étude de fonctions, continuité, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Exercice 4 (probabilités, sommes, suites, matrices, limites) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Sujet du DS no 8 (mathématiques, 3h) 86 Corrigé du DS no 8 88 Exercice 1 (étude de fonctions, continuité, applications, équivalents) . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Exercice 2 (étude de fonctions, dérivabilité, développements limités, suites, limites) . . . . . . . 92 Exercice 3 (développements limités) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Sujet du DS no 9 (mathématiques, 3h) 99 Corrigé du DS no 9 101 Problème (variables aléatoires, probabilités, équivalents) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Exercice 1 (dérivabilité, développements limités) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Exercice 2 (sous-espaces vectoriels, applications linéaires, familles de vecteurs) . . . . . . . . . . 107 BCPST1A lycée Hoche 2014-2015 2 sur 109 Sébastien Godillon DS no 1 de mathématiques durée : 3 heures Exercice 1 Dans un haras, un test génétique de couleur de robe (alezane, baie ou noire) est pratiqué sur les chevaux de trait de deux races diﬀérentes : comtoise et percheronne. On considère les deux propositions suivantes : P : «Il existe un percheron dont l’échantillon d’ADN est porteur du gène noir.» Q : «Si l’analyse est pratiquée sur un comtois, alors son échantillon d’ADN est porteur du gène alezan et du gène bai.» On note H l’ensemble des chevaux analysés du haras ; A, B et N les sous-ensembles de chevaux dont les échantillons d’ADN sont porteurs des gènes alezan, bai et noir (respectivement) ; et enﬁn C et P les sous-ensembles de chevaux de races comtoise et percheronne (respectivement). On pourra utiliser la lettre h pour désigner un cheval analysé (c’est-à-dire un élément générique de H). 1. Réécrire les propositions P et Q en langage mathématique à l’aide de quantiﬁcateurs et d’opérateurs logiques. 2. Réécrire la proposition Q en langage mathématique à l’aide d’opérations uploads/Philosophie/ ds-1415 1 .pdf