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Rappels des principaux résultats de la Théorie du signal ______________________

Rappels des principaux résultats de la Théorie du signal __________________________Chapitre I 3e année Télécommunication 2 Matière : Traitement du signal Chapitre I Rappels des principaux résultats de la Théorie du signal Contenu I.1. Introduction ..................................................................................................................... 3 I.2. Signaux ............................................................................................................................ 3 I.3.Développement en séries de Fourier .............................................................................. 10 I.4. Transformée de Fourier ................................................................................................. 13 I.5. Produit de convolution .................................................................................................. 20 I.6. Corrélation des signaux ................................................................................................. 23 I.7. Exercices ....................................................................................................................... 29 Rappels des principaux résultats de la Théorie du signal __________________________Chapitre I 3e année Télécommunication 3 Matière : Traitement du signal I.1. Introduction La démarche va des mathématiques vers leurs applications en essayant de faire un lien entre deux tendances. D’une part, les spécialistes du traitement du signal utilisent quotidiennement des concepts mathématiques, souvent de façon formelle, avec une grande intuition et beaucoup de pratique. D’un autre côté, les mathématiciens donnent plutôt la priorité au développement poussé des concepts et des outils mathématiques. Notre objectif est donc d’apporter au lecteur mathématicien éclairage sur l’utilisation des notions fondamentales d’analyse qu’il apprend et au lecteur physicien un cadre théorique dans lequel les formules « bien connues » trouvent leur justification. I.2. Signaux Un signal est la représentation physique de l’information qu’il transporte de sa source à son destinataire. Il sert de vecteur à une information. Il constitue la manifestation physique d’une grandeur mesurable (courant, tension, force, température, pression, etc.). I.2.1. Classification des signaux On peut envisager plusieurs modes de classification pour les signaux suivant leurs propriétés. I.2.2. Classification phénoménologique Les signaux sont définis par une fonction du temps s(t). Cette fonction peut être une expression analytique ou la solution d’une équation différentielle, auquel cas le signal est appelé déterministe. I.2.2.a. Les signaux déterministes Les signaux certains (ou déterministes) dont l’évolution en fonction du temps peut être parfaitement décrite par un modèle mathématique. Ces signaux proviennent de phénomènes pour lesquels on connaît les lois physiques correspondantes et les conditions initiales, permettant ainsi de prévoir le résultat ; par exemple : ) ( A ) (    t t s cos (1) Figure 1.1. Exemples d’un signal sinusoïdal. t s(t) A T Rappels des principaux résultats de la Théorie du signal __________________________Chapitre I 3e année Télécommunication 4 Matière : Traitement du signal où A est l’amplitude, ω= 2πf est la pulsation et α est la phase du signal. Les signaux non périodiques se composent d’une part des signaux pseudopériodiques formés d’une somme de sinusoïdes de périodes différentes et d’autre part des signaux transitoires dont l’existence est limitée dans le temps. Ces signaux « certains » peuvent en principe être reproduits rigoureusement identiques à eux-mêmes. Les principaux signaux déterministes sont : - les signaux périodiques ; - les signaux sinusoïdaux ; - les signaux non périodiques ; - les signaux transitoires. I.2.2.b. Les signaux aléatoires Un signal aléatoire est défini à chaque instant t par la loi de probabilité de son amplitude s(t). Cette loi peut s’exprimer par une densité de probabilité p(x, t) définie comme suit :   x x x t s x t p x Δ Δ ) ( Proba lim ) (x, 0 Δ      (2) Si leur propriété statistique est invariante dans le temps, on dit qu’il est stationnaire. Exemple 2.1 Les signaux non périodiques suivants sont des cas particuliers :  x(t) = e-at pour t >0 sinon x(t) = 0 ;  y(t) = t pour t >0 sinon t<0 ;  z(t) = 1 Figure 1.2. Exemples de signaux déterministes. t x(t) 1 t y(t) 1 t z(t) 1 Rappels des principaux résultats de la Théorie du signal __________________________Chapitre I 3e année Télécommunication 5 Matière : Traitement du signal I.2.3. Classification énergétique Les signaux peuvent être à énergie finie ou à puissance moyenne finie. On considère l'énergie des signaux. On distingue :  Les signaux à énergie finie : il possède une puissance moyenne nulle et une énergie finie. Les signaux à énergie finie vérifient la condition :        dt t s W 2 s ) ( (3)  Les signaux à puissance moyenne finie : il possède une énergie infinie et sont donc physiquement irréalisable. Les signaux à puissance moyenne finie sont tels que :                     dt t s T P T T T 2 2 2 s ) ( 1 lim 0 (4) I.2.4. Classification morphologique On distingue les signaux à variable continue des signaux à variable discrète ainsi que ceux dont l'amplitude est discrète ou continue. On obtient donc 4 classes de signaux :  Les signaux analogiques dont l'amplitude et le temps sont continus ;  Les signaux quantifiés dont l'amplitude est discrète et le temps continu ;  Les signaux échantillonnés dont l'amplitude est continue et le temps discret ;  Les signaux numériques dont l'amplitude et le temps sont discrets. I.2.5. Classification spectrale Un signal peut être classé suivant la distribution de son énergie ou de sa puissance en fonction de la fréquence (spectre du signal) mêmes. Le domaine des fréquences occupé par son spectre ΔF est aussi appelé la largeur de bande du signal (figure 1.2) : Avec ΔF = Fmax− Fmin. Cette caractéristique, exprimée en hertz (Hz), est absolue. Aussi il est nécessaire de la comparer au domaine de fréquences dans lequel se situe le signal. En considérant la fréquence moyenne Fmoy =ΔF/2, on peut distinguer deux types de signaux :  Les signaux de Basses fréquences (Fmin ≈0 ou proche de zéro), et les signaux de Hautes fréquences (Fmin >>0 ou loin de zéro) ; Rappels des principaux résultats de la Théorie du signal __________________________Chapitre I 3e année Télécommunication 6 Matière : Traitement du signal  Les signaux à bande étroite avec (Fmax≈ Fmin), et les signaux à large bande avec (Fmax>> Fmin ). Figure 1.3. Distribution spectrale d’un signal avec la largeur de bande ΔF. I.2.6. Signaux particuliers Afin de simplifier les opérations ainsi que les formules obtenues, certains signaux fréquemment rencontrés en traitement du signal dispos d'une modélisation propre. 1. Fonction signe : ‘parfois appelée signum’ est définie de la manière suivante (figure 1.4) Figure 1.4. Fonction signe. 0 0 1 0 1 ) sgn(          t pour t t t t t (5) La valeur à l'origine est en principe arbitraire, située entre ± 1. Par souci de symétrie, on admettra, sauf cas particulier, que cette valeur est nulle par convention. 2. Saut unité : La fonction saut (échelon) unité peut se définir à partir de la fonction signe (figure. 1.5) sgn(t) t fréquence Fmin Fmax ΔF Distribution spectrale Rappels des principaux résultats de la Théorie du signal __________________________Chapitre I 3e année Télécommunication 7 Matière : Traitement du signal Figure 1.5. Fonction échelon.         0 1 0 0 ) sgn( 2 1 2 1 ) u( t t t t (6) La valeur à l'origine est ici arbitrairement comprise entre 0 et 1. On la fixe par convention à ½. Pour certaines applications, il est préférable de lui assigner la valeur 1. 3. Fonction rampe : La fonction rampe peut se définir à partir de la fonction saut unité (figure. 1.6) Figure 1.6. Fonction rampe. Cette fonction est définie par :         0 0 0 ) ( ) ( t t t t u t t r (7) 4. Fonction rectangulaire ou porte : La fonction rectangulaire normalisée (intégrale unité), parfois aussi appelée en mathématique fonction porte, est notée et définie de la manière suivante (figure. 1.7)              2 0 2 1 ) ( P ) 2 ( ) 2 ( ) rec( 2 T T t T t t T t u T t u t (8) u (t) t u (t) t 1 1 Rappels des principaux résultats de la Théorie du signal __________________________Chapitre I 3e année Télécommunication 8 Matière : Traitement du signal Figure 1.7. Fonction rectangulaire. Elle est notée ) Π(t par certains auteurs. 5. Fonction triangulaire : La fonctio1l triangulaire llonnalisée (intégrale unité et variable t adimensionnelle) est notée et définie de la manière suivante (figure. 1.8)         T t T t t t t tri T 0 1 ) ( g ) ( (9) Figure 1.8. Fonction triangulaire. Cette fonction correspond aussi à la convolution ) ( ) ( ) ( t rect t rect t tri   (10) Elle est notée ) Λ(t par certains auteurs. 6. Impulsion (ou distribution) de Dirac : L'impulsion de Dirac correspond à une fonction porte dont la largeur T tendrait vers 0 et dont l'aire est égale à 1.       0 0 0 1 ) ( t pour t pour t  (11) Figure 1.9. Impulsion de Dirac. 1 T/2 -T/2 PT/2 (t) t T uploads/Philosophie/ch1-ts-3-annee-telecommunication.pdf