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Mai 2016 Support de Cours Théorie du signal Cours & TD de deuxième année Licenc

Mai 2016 Support de Cours Théorie du signal Cours & TD de deuxième année Licence Filières : Electronique & Télécommunications Réalisé par : Dr. Mohamed LADJAL ﺟﺎﻣﻌﺔ ﻣﺤﻤﺪ ﺑﻮﺿﻴﺎف- اﻟﻤﺴﻴﻠﺔ UNIVERSITE MOHAMED BOUDIAF - M’SILA آﻠﻴﺔ اﻟﺘﻜﻨﻮﻟﻮﺟﻴﺎ FACULTE DE TECHNOLOGIE ﻗﺴﻢ اﻹﻟﻜﺘﺮوﻧﻴﻚ DEPARTEMENT D’ELECTRONIQUE iii AVANT PROPOS Ce cours s'adresse principalement à des étudiants en seconde année de département d’Electronique. Il correspond au programme officiel de matière « Théorie du signal » enseigné en 2ème année sciences et technologies, filières : Electronique et Télécommunications. La première partie est plus spécialement orientée vers les différentes classes des signaux, la transformée de Fourier, la transformée de Laplace, produit de convolution et corrélation des signaux. La seconde s'attache principalement à étudier l’échantillonnage et les signaux discrets. Les techniques enseignées en première année (matrices, calcul intégral, équations différentielles), il les suppose connues. Mon intention est de présenter les bases des techniques mathématiques exploitées par les matières technologiques en introduisant le vocabulaire nécessaire et en établissant les résultats par des démonstrations aussi rigoureuses que possible. Dans un premier temps, un inventaire des différents théorèmes et des différents termes mathématiques exploités dans les cours technologiques a été dressé. Dans un second temps, quelques éléments théoriques plus généraux ont été ajoutés afin de donner à l'ensemble une présentation synthétique et cohérente. C'est tellement rassurant d'aborder d'autres domaines techniques ou scientifiques en retrouvant des mathématiques familières…. Pour juger de son adéquation au public visé, il est indispensable de prendre connaissance de quelques exercices proposés. On y remarquera que de nombreux problèmes sont issus de préoccupations techniques familières à nos étudiants, ce qui facilite leur motivation. Ce cours est axé autour de cinq chapitres qui sont présentés comme suit : Le premier chapitre est une description générale non exhaustive du vaste domaine de traitement des signaux. Des généralités sont présentées à propos du signal, ainsi que leur classification. Les signaux particuliers, Signaux déterministes et signaux aléatoires, Notions de puissance et d’énergie sont présentées. Dans le deuxième chapitre, nous nous intéressons à l’analyse de Fourier (séries et transformée de Fourier). Dans le chapitre trois, nous détaillons les fondements théoriques de la transformée de Laplace. Le quatrième chapitre est consacré au produit de convolution et la corrélation des signaux. Le cinquième et le dernier chapitre présent la notion d’échantillonnage et signaux discrets. A la fin des chapitres, des exercices sont proposés. Merci à tous ceux, étudiants, enseignants ou lecteurs occasionnels, qui voudront bien me signaler les erreurs, m'indiquer des lacunes ou me faire part de leurs remarques et suggestions de tous genres. Mohamed LADJAL M’sila, Mai 2016 iv Objectifs de l’enseignement: Acquérir les notions de base pour le traitement du signal et des processus aléatoires. Connaissances préalables recommandées: Cours de mathématiques de base Contenu de la matière : Chapitre 1 : Généralités sur les signaux 3 semaines Signaux analogiques / discrets, Signaux particuliers, Signaux déterministes et signaux aléatoires, Notions de puissance et d’énergie. Chapitre 2 : Analyse de Fourier 2 semaines Introduction, Séries de Fourier, Transformée de Fourier, Théorème de Parceval. Chapitre 3 : Transformée de Laplace 3 semaines Propriétés de la Transformée de Laplace, Analyse temporelle et fréquentielle. Chapitre 4 : Produit de Convolution 2 semaines Formulation du produit de convolution, Propriétés du produit de convolution, Produit de convolution et impulsion de Dirac, Déconvolution. Chapitre 5 : Corrélation des signaux 2 semaines Inter‐corrélation entre les signaux, Auto‐corrélation, Propriétés de la fonction de corrélation, Cas des signaux périodiques. Chapitre 6 : Echantillonnage et Signaux discrets 3 semaines Signaux discrets, Echantillonnage réel, Echantillonnage idéalisé, Théorème d’échantillonnage, Transformée en Z. Mode d’évaluation : Contrôle continu : 40 % ; Examen final : 60 %. Semestre : S4 Unité d’enseignement : UEF 2.2.2 Matière 2 : Théorie du signal (VHS: 45h00, Cours : 1h30, TD : 1h30) Crédits : 02 Coefficient : 02 Table des matières Avant-Propos……………………..……………………………………………………. iii Programme……………………………………………………………………………….. iv CHAPITRE I GENERALITES SUR LES SIGNAUX Introduction……………………….……………………………………………….………. 01 1. De la théorie du signal au traitement du signal……………………………………….. 02 2. Signal et bruit ……………………….………………………………………..………... 04 2.1. Définition d’un signal ……………………..………………………….……...… 04 2.1. Définition d’un bruit ……………………..………………………….……...… 04 3. Principales fonctions du traitement de signal…………..………..…………. …………. 05 4. Domaines d’applications……………………………………………………………….. 06 5. Modèles et mesure des signaux………………………………………………………… 07 5.1. Modèle mathématique…………………………………………………………... 07 5.2. Modèle fonctionnel……………………………………………………………... 07 6. Classification des signaux……………………………………………………………… 08 6.1. Dimensionnalité………………..………………………………………………. 08 6.2. Caractéristique temporelles....……..……………………………………………. 09 6.3. Valeurs prises par le signal………...……………………………………………. 10 6.4. Prédictibilité des signaux………………………………………………………... 6.5. Signaux physiquement réalisables………………………………………………. 7. Modes de classification………………………………………………………………… 10 10 11 7.1. Classification phénoménologique………………………………………………. 11 7.2. Classification énergétique……………………………………………………….. 11 7.3. Classification morphologique…………………………………………………… 12 7.4. Classification spectrale…………………………………………………………. 13 7.5. Classification dimensionnelle…………………………………………………… 14 Table de matières vi 8. Classification phénoménologique .................................................................................... 14 8.1. Signaux déterministes……………………………………………...……………. 14 8.2. Signaux aléatoires…….…………………………………………………………. 16 9. Processus aléatoire……………….................................................................................... 17 9.1. Caractéristiques………………………………………………………………… 17 9.1.1. La fonction de répartition……………………………………………... 18 9.1.2. La densité de probabilité……………………………………………… 18 9.1.3. Espérance mathématique……………………………….…………….. 18 9.1.4. Les moyennes…………………………………………………………. 19 9.2. Processus aléatoire complexe…………………………………...……………… 20 9.3. Stationnarité……………………………………………………………………. 21 9.3.1. Processus strictement stationnaire (au sens strict)…………………… 21 9.3.2. Processus faiblement stationnaire (au sens large)……………………. 22 9.4. Ergodicité………………………………………………………………………... 22 10. Signaux et Systèmes…………………………………………………………………… 23 11. Fonctions particulières………………………………………………………………… 23 11.1. Fonction impulsion de Dirac………………………………………………….. 23 11.2. Fonction signe…………………………………………………………………. 25 11.3. Fonction saut unité (ou Echelon)……………………………………………… 25 11.4. Fonction rampe………………………………………………………………… 25 11.5. Fonction porte…………………………………………………………………. 26 11.6. Fonction triangulaire…………………………………………………………... 26 11.7. Fonction sinus cardinal………………………………………………………… 27 12. Notions de puissance et d’énergie……………………………………………………... 27 12.1. Energie d’un signal……………………………………………………………. 27 12.2. Puissance moyenne d’un signal……………………………………………….. 27 12.3. Signaux à énergie finie…………………………………………………...……. 28 12.4. Signaux à puissance moyenne finie…………………………………………… 28 Table de matières vii CHAPITRE II ANALYSE DE FOURIER Introduction…………………………………………………………….………………….. 29 1. Les séries de Fourier ………………………………………………………………. 29 1.1. Série de Fourier complexe………………………………………………………. 29 1.2. Spectre fréquentiel…………………………………………...…………...…...... 30 1.3. Exemple : décomposition d'un train d'impulsions…………………….………… 30 1.4. Séries de Fourier réelles…………………………………………………………. 32 1.5. Séries de Fourier alternative…………………………………………………….. 33 1.6. Développement d’une fonction périodique en série de Fourier………………… 34 1.6.1. Série d’exponentielles imaginaires…………………………..………. 34 1.6.2. Série de sinus et de cosinus…………………………………………… 34 1.6.3. Egalité de Bessel–Parseval…………………………………………… 34 1.7. Développement d’une fonction de support fermé………………………………. 34 1.7.1. Exemple……………………………………………………………… 34 1.7.2. Fonction spatiale et temporelle……………………………………… 35 2. La transformation de Fourier………………………………………………………….. 35 2.1. Transformation de Fourier : définition…………………………………………. 35 2.2. Spectre d'amplitude et spectre de phase………………………………………… 36 2.3. Exemple…………………………………………………………………………. 36 2.4. Fonction de transfert…………………………………………………………….. 38 2.5. Principales propriétés de la transformée de Fourier……………………………. 40 2.6. Théorème de Parseval………………………………………………………….. 41 2.6.1. Energie, Valeur efficace par la série de Fourier – Formule de Paseval 41 Table de matières viii CHAPITRE III TRANSFORMEE DE LAPLACE Introduction……………………………………………………..……………………….... 45 1. Transformée de Laplace………………………………………………………………… 45 1.1. Définition………………………………………………………………………… 45 1.2. Ordre exponentiel………………………………………………………………… 46 1.3. Existence de la Transformation de Laplace……………………………………… 46 1.4. Unicité de la Transformation de Laplace………………………………………... 46 1.4.1. Transformée Bilatérale………….……………………………………... 46 1.5. Transformation de Laplace Inverse………………………………………………. 46 2. Propriétés de la Transformée de Laplace……………………………………………….. 47 3. Fonctions particulières…………………………………………………………………... 48 4. Méthode de Laplace (Calcul opérationnel)………………….…………………………. 50 5. Modélisation……………………………………………………………………………. 53 6. Transformées usuelles………………………………………………………………….. 54 7. Fonction de transfert……………………………………………………………………. 55 8. Opérations sur les transferts……………………………………………………………. 55 9. Diagramme de Bode……………………………………………………………………. 56 10. Plan de Nyquist – Abaque de Hall…………………………………………………… 56 11. Plan de Black (Nichols) – Abaque de Black…………………………………………. 57 12. Analyse temporelle et fréquentielle………………………………………………….. 57 CHAPITRE IV PRODUIT DE CONVOLUTION ET CORRELATION DES SIGNAUX Introduction………………………………………………………………………………... 63 1. Produit de convolution ………………………………...…………………..………….... 63 1.1. Formulation du produit de convolution .……………………………..………….... 63 1.1.1. Définition du produit de convolution……………………………………... 64 Table de matières ix 1.2. Propriétés du produit de convolution………………………………...…….…….. 65 1.3. Produit de convolution et impulsion de Dirac …………………...……………….. 65 1.4. Déconvolution ……………...………………………..…………………………... 66 2. Fonction de corrélation……………………………..…………………………………... 66 2.1. Fonction d’auto-corrélation ………..….……………………………………...…... 67 2.1.1. Fonction d’auto-corrélation statistique………...…………………………… 67 2.1.2. Fonction d’auto-corrélation temporelle………...…………...……………… 67 2.1.3. Propriétés de la fonction d’auto-corrélation………………………………… 67 2.1.4. Théorème de PARSEVAL………………………………………………….. 69 2.2. Fonction d’inter-corrélation ………..….……………………………………...…... 69 2.2.1. Fonction d’inter-corrélation statistique………...…………………………… 69 2.2.2. Fonction d’inter-corrélation temporelle………...…………...……………… 69 2.2.3. Propriétés de la fonction d’inter-corrélation…...…………………………… 69 2.3. Coefficient de corrélation…………………………………………………………. 70 2.3.1. Corrélation partielle………………………………………………………... 70 2.4. Théorème de Wiener- Kinchine………………………………………………….. 71 CHAPITRE V ECHANTILLONNAGE ET SIGNAUX DISCRETS Introduction………………………………………………………………………………... 72 1. Signaux discrets ……………………….……..……………………………………….... 73 1.1. Signaux élémentaires……………………………………………………………… 73 1.2. Energie et puissance des signaux discrets………………………………………… 74 2. Echantillonnage………………………………………………………………………... 74 3. Echantillonnage idéalisé……………………………………………………………….. 75 4. Echantillonnage réel ………………..………………………………………….…….. 76 5. Théorème d’échantillonnage ...…………………………..…………………………... 76 6. Conversion analogique - numérique et numérique – analogique……………………… 77 7. Quantification………………………………………………………………………….. 79 8. Classification des systèmes de traitement…………………………………………….. 79 8.1. Systèmes numériques……………………………………………………………… 79 Table de matières x 8.2. Systèmes causaux……………………………………………...………………….. 80 8.3. Systèmes stables……………………..……………………………………...…….. 80 8.4. Systèmes linéaires………………………………………………………………..... 80 8.5. Systèmes linéaires discrets invariants dans le temps (SLIT)…………………….. 80 9. Equation aux différences……………………………………………………………… 81 9.1. Equation aux différences linéaire à coefficients constants………………………... 82 9.2. Réponse impulsionnelle et produit de convolution……………………………….. 82 9.3. Réponse fréquentielle…………………………………………………………….. 82 10. Transformée en Z……………………………………………………………………. 83 10.1. Existence de la transformée en Z……………………………………………….. 84 10.2. Transformée en z des signaux élémentaires……………………………………. 84 10.3. Quelques propriétés de la transformée en Z…………………………………… 85 10.4. Application à la fonction de transfert en Z……………………………………... 86 10.5. Calcul des réponses temporelles et fréquentielles d’un processus discret….….. 86 10.6. Transformée en Z inverse………………………………………………………. 87 Travaux dirigés Bibliographie et Webographie CHAPITRE I GENERALITES SUR LES SIGNAUX Introduction Le traitement du signal est une discipline technique qui a pour objet l'élaboration, la détection et l'interprétation des signaux porteurs d'informations. uploads/Philosophie/ support-cours-theorie-de-signal.pdf