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Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2020/2021 Exercices de mathématiques MPSI 4 A

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2020/2021 Exercices de mathématiques MPSI 4 Alain TROESCH Version du: 3 septembre 2020 Table des matières 1 Logique et raisonnements 3 2 Ensembles 8 3 Applications 11 4 Sommes, binôme 15 5 Relations 19 6 Nombres réels 24 7 Nombres complexes 29 8 Limites, dérivation 36 9 Fonctions usuelles 41 10 Calcul intégral 44 11 Équations diﬀérentielles linéaires 48 12 Suites 50 13 Calcul asymptotique 58 14 Approximations polynomiales 63 15 Séries numériques 68 16 Continuité et dérivabilité sur un intervalle 73 17 Intégration 78 18 Pivot de Gauss 82 19 Structures algébriques 84 20 Groupes symétriques 91 Table des matières 2 21 Arithmétique 93 22 Polynômes et fractions rationnelles 99 23 Espaces vectoriels 104 24 Applications linéaires 108 25 Matrices 114 26 Déterminants 123 27 Algèbre bilinéaire 127 28 Combinatoire 134 29 Espaces probabilisés, calculs de probabilité 139 30 Variables aléatoires 144 1 Logique et raisonnements Manipulation d’expressions logiques formelles Exercice 1.1 – Soit R, S et T des propositions. Montrer à l’aide de tables de vérité, puis par manipulations ☆☆☆☆ logiques en utilisant des tautologies connues, et enﬁn par un raisonnement déductif, que les propositions suivantes sont vraies : 1. R Ô ⇒(S Ô ⇒R). 2. (R Ô ⇒S) Ô ⇒((S Ô ⇒T ) Ô ⇒(R Ô ⇒T )). 3. (R ∨S) ⇐ ⇒((R Ô ⇒S) Ô ⇒S). 4. (R Ô ⇒(S ∨T )) ⇐ ⇒(S ∨¬R ∨T ). 5. (R Ô ⇒S) Ô ⇒((R ∧T ) Ô ⇒(S ∧T )). 6. (R ⇐ ⇒S) Ô ⇒((T Ô ⇒R) ⇐ ⇒(T Ô ⇒S)). Exercice 1.2 – ☆☆☆☆ Nier formellement les propositions suivantes. 1. ∀x ∈A, ∃y ∈B, (P(y) Ô ⇒Q(x,y)) ; 2. ∀x ∈A, ((∃y ∈B, P(y)) Ô ⇒Q(x,y)) ; 3. (A Ô ⇒(∀x, B(x))) ⇐ ⇒(∀y, C(y)) ; 4. A Ô ⇒((∀x, B(x)) ⇐ ⇒(∀y, C(y))) ; 5. A Ô ⇒(∀x, (B(x) ⇐ ⇒(∀y, C(y)))). Exercice 1.3 – Négations logiques ★☆☆☆ Nier formellement les propositions suivantes : 1. ((A ∨B) Ô ⇒C) Ô ⇒(D ∧E) ; 2. (A Ô ⇒B) ⇐ ⇒(A Ô ⇒¬C) ; 3. ∀x ∈E, ∃y ∈E, A(x,y) ∨B(x) ; 4. (∃x ∈E, A(x)) Ô ⇒(∀x ∈E, A(x)) ; 5. ∃x ∈E, A ⇐ ⇒(∃y ∈E, A(x,y) ∧B(y)) ; 6. ∃!x, A(x). Exercice 1.4 – Nier les propositions suivantes : ☆☆☆☆ 1. ∀x ∈A, ∃y ∈B, (x ∈C et (x,y) ∈D) ou x / ∈C. 2. ∀x,∃y,((x,y) ∈A Ô ⇒x ∈B). 3. ∀x,((∃y,(x,y) ∈A) Ô ⇒x ∈B). 4. (A et (B Ô ⇒C)) ⇐ ⇒(B Ô ⇒(A ⇐ ⇒C)). 4 Quelle diﬀérence de sens faites-vous entre les phrases 2 et 3 ? Exercice 1.5 – Donner la contraposée des expressions suivantes : ☆☆☆☆ 1. (A et (B ou C)) Ô ⇒(B ou (A et C)). 2. (∃!x,(x ∈A et x ∈B)) Ô ⇒(∀y,∃!x,(x ∈A et (y −x) ∈B)). Raisonnements par l’absurde et la contraposée Exercice 1.6 – Soient n un entier strictement positif, et pn, s’il existe, le n-ième nombre premier. ★★☆☆ 1. Montrer qu’il existe une inﬁnité de nombres premiers (considérer p1p2 ... pn + 1) 2. Montrer que pour tout entier n strictement positif, pn ⩽22n−1. Exercice 1.7 – Soient a et n deux entiers positifs ou nuls. On suppose n ⩾2. Montrer les assertions ★★☆☆ suivantes. 1. Si an −1 est premier, alors a = 2 et n est premier. 2. Si an + 1 est premier et a ⩾2, alors n est pair. 3. Si an + 1 est premier et a ⩾2, alors a est pair et n est une puissance de 2. Exercice 1.8 – Soit p un nombre premier. Montrer que √p est irrationnel. Généraliser à √n, pour n ★☆☆☆ entier quelconque, lorsque n n’est pas un carré parfait. Exercice 1.9 – Soit n ∈N∗. Soient x1,... ,xn+1 des points de l’intervalle [0,1]. Montrer qu’il existe ★★☆☆ (i,j) ∈[ [1,n + 1] ]2 tel que i ≠j et ∣xi −xj∣⩽1 n. Exercice 1.10 – (Autour des triplets pythagoriciens) ★★☆☆ Soit (a,b,c) un triplet pythagoricien, c’est à dire un élément de (N∗)3 tel que a2 + b2 = c2. On suppose que a, b et c n’ont pas de diviseur commun. Montrer que c est impair. Exercice 1.11 – (Rallye mathématique d’Alsace 2012) ★★★☆ Dans un plan sont placés 66 points distincts. On trace toutes les droites déterminées par deux de ces points et on en compte 2012 distinctes. Justiﬁer que parmi ces 66 points, 4 au moins sont alignés. Analyse-Synthèse Exercice 1.12 – Deux joueurs s’aﬀrontent de la manière suivante : au début du jeu, ils disposent 100 ★★☆☆ allumettes sur la table. Ils jouent chacun à leur tour. À chaque étape, le joueur qui joue enlève au choix de 1 à 7 allumettes. Le joueur qui retire la dernière allumette gagne. 1. Montrer que le premier joueur a une stratégie gagnante, et décrire cette stratégie. 2. Généraliser à un nombre n quelconque d’allumettes, les joueurs pouvant enlever de 1 à k allumettes à chaque tour ((k,n) ∈(N∗)2). Exercice 1.13 – ☆☆☆☆ 1. Trouver les solutions de l’équation √ x(x −3) = √ 3x −5, x ∈R. 2. De même avec l’équation (xx)x = xxx, x ∈R∗ + Exercice 1.14 – ★☆☆☆ 1. Montrer que toute fonction continue f ∶[0,1] Ð →R s’écrit sous la forme f = g+c où ∫ 1 0 g(t) dt = 0 et c ∈R. Cette décomposition est-elle unique ? 5 2. Montrer que toute fonction continue f ∶[0,1] Ð →R s’écrit sous la forme f = g +h, où h ∶x ↦ax+b est une fonction polynomiale de degré au plus 1, et où pour toute fonction polynomiale P de degré au plus 1, ∫ 1 0 P(t)g(t) dt = 0. Cette décomposition est-elle unique ? Si oui, exprimer g, a et b en fonction de f. Exercice 1.15 – Soit, pour tout x ∈R ∖{−1,1,2,5}, f(x) = 1 (x + 1)(x −1)(x −2)(x −5). ★☆☆☆ En évaluant (x + 1)f(x) en un réel bien choisi, montrer qu’il existe des réels uniques a, b, c et d que l’on déterminera, tels que : ∀x ∈R ∖{−1,1,2,5}, f(x) = a x + 1 + b x −1 + c x −2 + d x −5. Exercice 1.16 – Soit X = (x1,... ,xn) un vecteur de Rn tel que x1+⋯+xn ≠0. et soit H le sous-ensemble ★☆☆☆ de Rn déﬁni par : H = {Y = (y1,... ,yn) ∈Rn ∣y1 + ⋯+ yn = 0.} Montrer que tout vecteur Z de Rn se décompose sous la forme Z = λX + Y , où λ ∈R et Y ∈H. Justiﬁer que cette décomposition est unique. Exercice 1.17 – (d’après Rallye mathématique d’Alsace 2012) ★★★☆ 1. Mon code secret de téléphone portable est composé de quatre chiﬀres diﬀérents et tous non nuls. Quand j’eﬀectue la somme de tous les nombres possibles que je peux former avec deux de ces quatre chiﬀres (dans un sens ou dans un autre), je retrouve mon code. Quel est mon code ? 2. Oups, je m’étais trompé, il faut encore multiplier le résultat par 7 pour trouver mon code. Quel est mon code ? Récurrences Exercice 1.18 – Montrer que pour tout entier n positif, n4n+1 −(n + 1)4n + 1 est divisible par 9. ★★☆☆ Exercice 1.19 – Montrer que : ∀n ∈N∗, (2n 3 + 1 3)√n ⩽ n ∑ k=1 √ k ⩽(2n 3 + 1 2)√n. ★★★☆ En déduire la limite quand n tend vers l’inﬁni de la suite (un)n∈N∗déﬁnie pour tout n ∈N∗par : un = 1 n√n n ∑ k=1 √ k. Exercice 1.20 – (Multiplication par la méthode dite « du paysan russe ») ★★☆☆ On propose l’algorithme suivant. Soient m et n deux entiers strictement positifs. Sur une première ligne, on écrit côte à côte m et n. Sur la ligne suivante, on écrit le quotient de la division euclidienne de m par 2 (on oublie donc les décimales) sous la valeur de m, et on écrit 2n sous la valeur de n. On continue ainsi : dans la première colonne, on passe d’une ligne à l’autre en divisant par 2, dans la deuxième colonne, on multiplie par 2. On s’arrête lorsqu’on a obtenu 1 dans la première colonne. On barre ensuite toutes les lignes pour lesquelles le nombre situé dans la première colonne est pair. On fait enﬁn la somme des nombres situés dans la deuxième colonne et non barrés. On note ϕ(m,n) l’entier obtenu. Montrer que ϕ(m,n) = m ⋅n. Un exemple de mise en application de cet algorithme pour calculer 11⋅17 (les lignes à barrer sont en gris) 11 17 5 34 2 68 1 136 187 6 Exercice 1.21 – (Explicitation des suites récurrentes doubles) ★☆☆☆ Soit (un)n∈N une suite donnée par ses deux termes initiaux u0 et u1, et la relation de récurrence suivante : ∀n ∈N, un+2 = aun+1 + bun, où a et b sont deux réels ﬁxés. 1. On suppose que l’équation x2 −ax −b admet deux racines distinctes r et s dans C. (a) Montrer que pour tous uploads/Philosophie/ exercice-s 1 .pdf