Théorie élémen taire de l'in tégration : l'in tégrale de Kurzw eil-Hensto k Jea

Théorie élémen taire de l'in tégration : l'in tégrale de Kurzw eil-Hensto k Jean-Pierre Demailly Univ ersité Joseph F ourier Grenoble I http://www-fourier.uj f-gr eno ble. fr/˜ demailly/books.html v ersion du 12 août 2011 In tro du tion L'ob je tif de e texte est de prop oser une  trame  p our l'enseignemen t de l'in tégration depuis le ly ée jusqu'aux premières années de l'univ ersité. P our ela, nous dév elopp ons les bases de la théorie de l'in tégration telles qu'elles on t été p osées et grandemen t é lair ies par Jarosla v Kurzw eil et Ralph Hensto k à la n des années 1950. Au l des hapitres, le niv eau mathématique de l'exp osition glisse progressiv emen t d'un niv eau très élémen taire jusqu'à un niv eau de se ond y le univ ersitaire. Même si au début une partie des résultats doit être admise ou démon trée de manière heuristique du fait des on train tes de temps ou des prérequis, nous p ensons que la démar he mathématique utilisée dans l'enseignemen t doit resp e ter haque fois que ela est p ossible les prin ip es d'une progression par généralisations su essiv es ompatibles a v e les exp osés qui on t pré édé ( progression on en trique ). Il est don très utile d'in tro duire dès le début des dé nitions qui son t sus eptibles d'être rendues rigoureuses et formalisées, et d'adopter un ordre de présen tation des on epts et une arti ulation logique tels que la théorie n'aura pas à être substan tiellemen t hangée le jour où viendra la formalisation omplète.(1) (1) À l'heure a tuelle, l'in tégration est souv en t ab ordée en plusieurs étap es qui son t les suiv an tes : a) En terminale, une première étap e qui onsiste à in tro duire l'in tégrale omme  aire sous la ourb e  , a v e un état d'esprit qui se ressen t obligatoiremen t de l'appauvrissemen t on tin uel de la on eptu- alisation depuis 2 dé ennies. Il en résulte qu'il est dev en u très di ile de formaliser omplètemen t la théorie, e qui v eut probablemen t dire qu'on ne p eut guère esp érer que le ours donne de v éritables démonstrations, mais seulemen t au mieux quelques indi ations de preuv es omplétées par des onsidérations heuristiques. b) Dans les premières années d'univ ersité, les enseignan ts présen ten t en général une v ersion plus ou moins édul orée de la théorie de  l'in tégrale de Riemann  , à l'aide d'en adremen ts par des fon tions en es alier, et des preuv es qui tenden t de plus en plus à disparaître du fait du re ul des onnaissan es fondamen tales requises (pratique des ε et δ , on tin uité uniforme, ...) ) En Master 1ère année apparaîtra dans les b ons as une théorie plus solide de l'in tégration rep osan t sur la théorie de la mesure et l'in tégrale de Leb esgue. Mais il est de notoriété publique que e sujet qui fâ he a tendan e aujourd'h ui à être de moins en moins traité, surtout dans les lières dites  Master enseignemen t  . Cette situation présen te de nom breux in on v énien ts. La théorie de l'in tégrale de Riemann n'est pas une  b onne théorie  , ni du p oin t de vue dida tique ni du p oin t de vue mathématique. La présen tation n'en est pas très simple : il faut manipuler onstammen t des en adremen ts de fon tions, utiliser la on tin uité uniforme p our démon trer l'in tégrabilité des fon tions on tin ues, faire des dé oupages de ε et δ parfois p eu é lairan ts. Il y a de nom breuses restri tions ou pathologies, des théorèmes essen tiels omme eux de la on v ergen e monotone ne son t pas v alables, et . Plus tard, l'in tro du tion de l'in tégrale de Leb esgue viendra bala y er e tra v ail en mon tran t qu'il s'agissait en fait d'une théorie ban ale et in omplète. Si les étudian ts é happ en t à l'in tégrale de Leb esgue  omme ela arriv e à un nom bre de plus en plus grand de CAPESiens  ils n'auron t don jamais eu l'o asion de se v oir exp oser une théorie  sérieuse  de l'in tégration, e qui est préo upan t. 2 Théorie élémen taire de l'in tégration : l'in tégrale de Kurzw eil-Hensto k Le hoix de l'in tégrale de Kurzw eil-Hensto k présen te l'a v an tage de fournir des dé ni- tions assez simples  p eut-être plus simples que elle de Riemann puisque les en adre- men ts de fon tions ne son t plus né essaires, que l'on n'a plus b esoin de la on tin uité uniforme, que tous les théorèmes de base se démon tren t en quelques lignes  et, en même temps, d'être assez puissan te p our on tenir les parties élémen taires de la théorie de Leb esgue ... Dans es onditions, il paraît quelque p eu ana hronique que la théorie n'ait pas en ore trouv é sa juste pla e dans l'enseignemen t ! Nous suiv ons i i d'assez près le livre  In tro du tion to gauge in tegrals  [Sw℄ de Charles Sw artz, en l'allégean t autan t que faire se p eut, p our atteindre très rapidemen t la preuv e des théorèmes fondamen taux (rapp ort en tre in tégration et primitiv e, in tégration par parties, hangemen t de v ariable, dériv abilité des in tégrales indé nies de fon tions on tin ues...). Nous dév elopp ons ensuite les résultats plus sp é i ques à la théorie de Kurzw eil-Hensto k p our atteindre les théorèmes de on v ergen e monotone et dominée. L'existen e de la mesure de Leb esgue et ses propriétés fondamen tales guren t parmi les onséquen es dire tes, sans qu'il y ait b esoin d'in tro duire au préalable le langage général des tribus et des mesures dénom brablemen t additiv es. Les étudian ts auron t don en fait un premier exemple motiv an t sous la main lorsque es notions plus générales seron t in tro duites. En n, les dé nitions ad ho des div erses in tégrales généralisées, impropres et semi- on v ergen tes deviennen t égalemen t a essoires, puisque toutes es notions p euv en t être exprimées en une seule dé nition naturelle on tenan t les as utiles : l'in tégrale de Kurzw eil-Hensto k autorise par nature même la  semi- on v ergen e  ... Les premières étap es nous paraissen t év en tuellemen t utilisables au ly ée, à ondition d'admettre quelques-unes des démonstrations  et en prenan t omme p ersp e tiv e que 'est l'in tégrale de Kurzw eil-Hensto k qui sera dév elopp ée ensuite, de sorte que les énon és présen tan t des h yp othèses arti ielles sup er ues n'on t pas lieu d'être. Le ours qui suit a été à l'origine inspiré par des notes syn thétiques rédigées par Eri Charp en tier [Ch℄ à l'Univ ersité de Bordeaux autour de 2002, et fait des emprun ts à de m ultiples sour es ( f. bibliographie). Ces notes on t été ensuite dév elopp ées sous forme de ours p oly opié par Jean-Y v es Briend à Marseille [Br℄ (après que je l'ai informé des suggestions d'Eri Charp en tier). Le présen t texte a fait l'ob jet de plusieurs réda tions su essiv es depuis l'automne 2005, et a lui-même inspiré ultérieuremen t des ours ou man uels mis en han tier par plusieurs ollègues. Je v oudrais dans e adre signaler d'utiles remarques et questions form ulées par Xa vier Bu, auteur du hapitre sur l'in tégration p our le L2 dans la olle tion de man uels Li en e-T out-en-Un dirigée par Jean-Pierre Ramis et André W arusfel [R W℄, et remer ier es deux derniers p our leur in térêt et leurs en ouragemen ts. T able des matières 3 T able des matières In tro du tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Philosophie/ kurzweil-plus-complet.pdf

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Philosophietions tégrale alors théorème tégration
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