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Notions de raisonnement I. Logique 2 1. Assertions . . . . . . . . . . . . . .

Notions de raisonnement I. Logique 2 1. Assertions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 a) Connecteurs ´ el´ ementaires non, ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 b) Premi` ere construction : le connecteur et . . . . . . . . . . . . . . . . 4 c) Premi` eres n´ egations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 d) Autres constructions : les connecteurs ⇒et ⇔. . . . . . . . . . . . 5 e) R` egles ´ el´ ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 f) N´ egation de l’implication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3. Notion de th´ eorie math´ ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 a) Axiomes, propositions, th´ eor` emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 b) Grands types de d´ emonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4. R´ esum´ e rapide de la partie I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II. Th´ eorie des ensembles 12 1. Ensembles, ´ el´ ements, appartenance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. Pr´ edicats et quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 a) Pr´ edicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 b) Quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 c) N´ egation d’une assertion commen¸ cant par un quantiﬁcateur . . . . . 14 d) Pr´ edicats ` a plusieurs variables – Succession de quantiﬁcateurs . . . . 15 e) De la bonne utilisation des symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3. R´ esum´ e rapide du d´ ebut de la partie II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4. Parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 a) ´ Egalit´ e d’ensembles – Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 b) Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 c) Sous-ensembles et pr´ edicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 d) R´ eunion – Intersection – Compl´ ementaire . . . . . . . . . . . . . . . 20 e) R` egles de calcul sur les parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . 21 5. Premi` eres d´ emonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6. Couple, produit cart´ esien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 a) Produit cart´ esien de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 b) G´ en´ eralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 PCSI — Lyc´ ee Priv´ e Sainte Genevi` eve (JMC) 17 aoˆ ut 2011 III. M´ ethodes pratiques de recherche 29 1. Premiers exemples de traduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2. Comment engager une recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3. M´ ethode “Conclusion peau de chagrin” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4. Autres exemples de r´ eduction de conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5. Angoisse “d´ emonstration ou contre-exemple ?” . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6. Quelques exercices pour mettre en application . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 7. Curseur de conclusion (peut se garder pour une lecture ult´ erieure) . . . . . 38 8. Exemple d’un ´ enonc´ e ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 IV. Conclusion 42 V. Solutions des exercices 44 PCSI — Lyc´ ee Priv´ e Sainte Genevi` eve (JMC) 17 aoˆ ut 2011 Notions de raisonnement Introduction L’activit´ e math´ ematique se d´ eveloppe suivant trois axes principaux : • La construction d’objets math´ ematiques, qui peuvent ˆ etre des nombres, des ﬁgures g´ eom´ etriques, des fonctions, . . ., objets servant souvent de mod` eles pour ´ etudier les ph´ enom` ene physiques, chimiques, biologiques, etc. • La recherche de propri´ et´ es ou assertions sur les objets pr´ ec´ edents : ce sont des conjectures qui peuvent ˆ etre ´ elabor´ ees ` a partir de cas particuliers, par observation de dessins ou encore par utilisation de moyens informatiques. • La d´ emonstration de certaines propri´ et´ es ´ enonc´ ees pr´ ec´ edemment. Une fois d´ emontr´ ees, ces assertions prennent le nom de th´ eor` emes, propositions, lemmes, corollaires, etc. Outre l’introduction, cet expos´ e comporte trois parties : • La partie I. est une pr´ esentation des r` egles permettant de combiner les assertions ` a l’aide des connecteurs non, ou, et, ⇒, . . . et de d´ eterminer si ce que l’on obtient est vrai ou faux. • La partie II. introduit les notions d’ensembles et d’´ el´ ements ainsi que les quantiﬁca- teurs et leurs r` egles d’utilisation. • La partie III. vous donne des m´ ethodes vous permettant d’engager de nombreuses d´ emonstrations en ´ etant sˆ ur de ce que vous faites. Bien que n’´ etant pas explicitement au programme, la connaissance des ´ el´ ements de ce chapitre est indispensable pour vous permettre non seulement d’avoir une bonne maˆ ıtrise des m´ ethodes de d´ emonstration mais aussi d’ˆ etre sˆ ur d’avoir eﬀectivement r´ ealis´ e le travail n´ ecessaire ` a la r´ esolution d’une question que l’on vous pose. • Toutefois, ces notions, qui peuvent paraˆ ıtre ardues en premi` ere lecture, pourront n’ˆ etre acquises en d´ etail que progressivement et ce chapitre devra en cons´ equence ˆ etre relu et assimil´ e r´ eguli` erement, ` a la lumi` ere de vos futures activit´ uploads/Philosophie/ logique-v2-notions-de-raisonnement-logique.pdf