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Mathématiques ENSEIGNEMENT DU RAISONNEMENT MATHÉMATIQUE AU COLLÈGE Paternité -

Mathématiques ENSEIGNEMENT DU RAISONNEMENT MATHÉMATIQUE AU COLLÈGE Paternité - Pas d'Utilisation Commerciale : http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.0/fr/ Copyright © mobile-Learning Côte d'Ivoire 2015 mLearning Côte d'ivoire Décembre 2016 ENCADREUR PÉDAGOGIQUE (TUTEUR) Table des matières Objectifs 5 Introduction 7 - 9 - 11 A. Activités d'apprentissage..............................................................................11 1.Situation....................................................................................................................11 2.Exercice : Caractéristiques des types de raisonnement mathématique au collège [1.a].........11 3.Exercice : Caractéristiques des types de raisonnement au collège [1.b]..............................12 4.Exercice : Mise en œuvre de chaque raisonnement au collège [2.a]...................................13 5.Exercice : Mise en œuvre de chaque raisonnement au collège [2.b]...................................13 6.Exercice : Mise en œuvre de chaque raisonnement au collège [2.c]...................................13 7.Exercice : Mise en œuvre de chaque raisonnement au collège [2.d]...................................14 8.Exercice : Reconnaissance des différents types de raisonnement au collège dans des activités pédagogiques [3.a].........................................................................................................14 9.Exercice : Reconnaissance des différents types de raisonnement au collège dans des activités pédagogiques [3.b].........................................................................................................14 10.Exercice : Reconnaissance des différents types de raisonnement au collège dans des activités pédagogiques [3.c].........................................................................................................15 B. Évaluation de l'UF1......................................................................................15 - 17 A. Activités d'apprentissage..............................................................................17 1.Situation....................................................................................................................17 2.Exercice : Identification des étapes de la résolution d'un problème de construction [1].........17 3.Exercice : Mise en œuvre de chaque étape en classe [2.a]................................................18 4.Exercice : Mise en œuvre de chaque étape en classe [2.b]................................................18 5.Exercice : Mise en œuvre de chaque étape en classe [2.c]................................................19 B. Évaluation de l'UF2......................................................................................19 - 21 A. Exercice.....................................................................................................21 Conclusion 23 Solution des exercices 25 Copyright © mobile-Learning Côte d'Ivoire 2015 3 Glossaire 31 Références 33 Index 35 Contenus annexes 37 Copyright © mobile-Learning Côte d'Ivoire 2015 4 Objectifs Objectif Général : A la fin de ce module, tu dois être capable d'amener tes élèves à utiliser le raisonnement mathématique. Objectifs spécifiques : 1. Connaître les étapes de l'apprentissage du raisonnement mathématique ; 2. Résoudre des problèmes de construction. Copyright © mobile-Learning Côte d'Ivoire 2015 5 Introduction Dans la vie courante, nous faisons très souvent des raisonnements mathématiques. Or, nombreux sont nos élèves qui éprouvent d'énormes difficultés en mathématiques à cause du raisonnement. Un bon enseignement/apprentissage des mathématiques exige un usage correct et approprié du raisonnement par les élèves. Ce module, intitulé « Enseignement du raisonnement mathématique au collège », vise à t'outiller pour un bon enseignement/apprentissage du raisonnement mathématique. Pour ce faire tu devras être capable d'/de :  connaître les étapes de l'enseignement du raisonnement mathématique ;  appliquer les stratégies de résolution d'un problème de construction. « Faire des mathématiques, c'est raisonner logiquement. » Copyright © mobile-Learning Côte d'Ivoire 2015 7 I - Vérification des prérequis I Objectifs Vérifier que tu es capable de distinguer le raisonnement inductif du raisonnement déductif. Exercice 1 : Caractéristiques des raisonnements inductif et déductif. [Solution n°1 p 25] On donne, dans la première colonne du tableau ci-dessous des types de raisonnement et dans la deuxième, des définitions de raisonnement. Associe chaque type de raisonnement à la définition qui lui convient. i - Induction ii - Autre iii - Déduction Raisonnement qui consiste à tirer d'une ou de plusieurs propositions, une autre qui en est la conséquence logique. Raisonnement qui part d'un phénomène observé de manière répétitive, pour aboutir à une loi générale sans vérifier tous les exemples. Ce raisonnement n'a pas valeur de preuve. Raisonnement qui consiste à émettre des hypothèses. Exercice 2 : Choix du type de raisonnement dans les activités pédagogiques [Solution n°2 p 25] Voici des activités susceptibles d'être conduites en classe pendant un cours de mathématiques. Associe à chaque activité, le type de raisonnement mathématique approprié pour sa conduite en classe. i - Raisonnement inductif ii - Raisonnement inductif iii - Raisonnement déductif iv - Raisonnement déductif v - Raisonnement déductif vi - Raisonnement déductif Copyright © mobile-Learning Côte d'Ivoire 2015 9 Conjecturer une propriété Découvrir une notion Démontrer une propriété Déduire un résultat Appliquer des règles pour calculer Exercice 3 : Reconnaissance du type de raisonnement dans un exercice. [Solution n°3 p 26] On donne les trois exercices suivants : Exercice 1 a) Construire un parallélogramme ABCD. b) Tracer les diagonales du parallélogramme. c) Soit O le point d'intersection des diagonales. Vérifier à l'aide du compas que O est le milieu des diagonales. d) Quelle propriété peux-tu énoncer ? Exercice 2 On donne la figure codée ci-contre. Les droites (IJ) et (BC) sont parallèles. (AH) et (BC) sont perpendiculaires. Justifie que les droites (IJ) et (AH) sont perpendiculaires. Exercice 3 Sachant que : 2,236 <√5< 2,237, encadre 1/(2+√5) par deux décimaux consécutifs d'ordre deux. Associe chaque exercice au type de raisonnement utilisé pour sa résolution. i - Exercice 1 ii - Exercice 3 iii - Exercice 2 Raisonnement déductif Raisonnement inductif Autre Vérification des prérequis Copyright © mobile-Learning Côte d'Ivoire 2015 10 II - UF1 : Connaître les étapes de l'apprentissage du raisonnement mathématique II Activités d'apprentissage 11 Évaluation de l'UF1 15 Enseigner les Mathématiques ne consiste pas uniquement à faire calculer et à faire construire mais aussi et surtout à amener les élèves à raisonner. Pour le réussir tu dois :  connaître les différents types de raisonnement ;  connaître les stratégies d'enseignement des types de raisonnement mathématique ;  reconnaître le type de raisonnement à mettre en œuvre dans la résolution d'un exercice donné. A. Activités d'apprentissage 1. Situation Les professeurs de mathématique de ton établissement ont quelques difficultés pour distinguer les différents types de raisonnement utilisés dans l'enseignement des mathématiques au collège. Sollicité par tes collègues pour animer une classe ouverte sur ce thème, tu décides d'identifier les différents types de raisonnement utilisés au collège. Copyright © mobile-Learning Côte d'Ivoire 2015 11 2. Exercice : Caractéristiques des types de raisonnement mathématique au collège [1.a] [Solution n°4 p 26] Dans leur pratique pédagogique habituelle en classe, les enseignants sont amenés à utiliser les propriétés soit en les admettant soit les démontrant dans la classe de 6ème. Choisis dans le tableau ci-dessous, les différents types de raisonnement qu'ils peuvent utiliser. i - Raisonnement par disjonction des cas ii - Raisonnement par contre-exemple iii - Raisonnement par contraposée iv - Raisonnement par l'absurde v - Raisonnement direct (utilisation des propriétés) vi - Raisonnement par récurrence Pour démontrer qu'une assertion P(n), dépendante de n est vraie pour tout n entier naturel, (1) On prouve que P(0) est vraie. (2) On suppose P(n) vraie pour n positif donné et on démontre que l'assertion P(n+1) est vraie. (3) On Conclut que P(n) est vrai pour tout n entier naturel. Pour démontrer l'assertion « P implique Q », on démontre que « non Q est vraie alors non P est vraie ». Si l'on veut démontrer qu'une assertion du type : « pour tout x de E, P(x) est vraie » est fausse, il suffit de trouver un x de E tel que P(x) soit faux. On établit l'implication « P implique Q », en faisant voir que la proposition contraire est erronée. On conclut de la fausseté de l'une à la vérité de l'autre. Pour démontrer une assertion P(x) pour tous les x d'un ensemble E, on réalise une partition de E et on démontre l'assertion P(x) pour chacune de ces parties de E. On démontre que l'assertion « P implique Q » est vraie pour cela on démontre que : si P est vraie, alors Q est vraie. 3. Exercice : Caractéristiques des types de raisonnement au collège [1.b] [Solution n°5 p 27] Voici une liste de types de raisonnement mathématique. Coche les types de raisonnement utilisés au collège. UF1 : Connaître les étapes de l'apprentissage du raisonnement mathématique Copyright © mobile-Learning Côte d'Ivoire 2015 12 Raisonnement par l'absurde Raisonnement par disjonction des cas Raisonnement par contre - exemple Raisonnement direct Raisonnement par contraposé Raisonnement par récurrence 4. Exercice : Mise en œuvre de chaque raisonnement au collège [2.a] [Solution n°6 p 27] Voici différentes activités pédagogiques mises en œuvre en classe. Coche celles qui permettent aux élèves d'apprendre à raisonner. Amener ses élèves à identifier les hypothèses et la conclusion Apprendre à ses élèves à rechercher une démarche Donner beaucoup d'exercices aux élèves Savoir rédiger correctement soi-même les exercices Apprendre à ses élèves à faire une bonne rédaction 5. Exercice : Mise en œuvre de chaque raisonnement au collège [2.b] [Solution n°7 p 28] Coche, parmi les activités suivantes, celles qui peuvent amener les élèves à identifier dans un énoncé les hypothèses et la conclusion. Lire attentivement l'énoncé Lire son cours Relever les données et la conclusion Traduire des données en langage mathématique 6. Exercice : Mise en œuvre de chaque raisonnement au collège [2.c] [Solution n°8 p 28] Coche, parmi les activités suivantes, celles qui peuvent faciliter aux élèves la recherche d'une démarche dans la conduite d'un raisonnement. UF1 : Connaître les étapes de l'apprentissage du raisonnement mathématique Confronter hypothèses et conclusion avec définitions et propriétés connues Apprendre les définitions et propriétés Sélectionner les propriétés et définitions nécessaires à une justification Justifier chaque étape d'une démarche 7. Exercice : Mise en œuvre de chaque raisonnement au collège [2.d] [Solution n°9 p 28] Coche, parmi les activités suivantes, celles qui peuvent faciliter aux élèves la bonne rédaction d'un exercice de raisonnement. Utiliser les connecteurs logiques Utiliser uniquement le uploads/Philosophie/ maths-college-01 4 .pdf