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Entre la Terminale et les CPGE scientifiques Math´ ematiques Lyc´ ee Louis le G

Entre la Terminale et les CPGE scientifiques Math´ ematiques Lyc´ ee Louis le Grand Introduction Les journ´ ees « Portes Ouvertes » du lyc´ ee Louis-le-Grand permettent aux ´ el` eves de Terminale candidats aux CPGE et ` a leurs parents de dialoguer avec les professeurs des classes pr´ eparatoires. Deux questions reviennent fr´ equemment. - Comment un ´ el` eve de Terminale peut-il se pr´ eparer efficacement aux CPGE ? - Quelles sont les math´ ematiques accessibles ` a un bachelier tr` es int´ eress´ e par la discipline ? Ce document, destin´ e aux ´ el` eves de Terminale entrant en PCSI ou MPSI au lyc´ ee Louis le Grand, a ´ et´ e ´ elabor´ e pour r´ epondre ` a ces deux demandes. Sa lecture n’a bien ´ evidemment aucun caract` ere obligatoire. Organisation et contenu de ce texte Pour r´ epondre aux deux demandes ci-dessus, le texte est divis´ e en deux grandes parties, chacune tr` es substantielle. La premi` ere partie est un outil destin´ e ` a aider ceux des ´ el` eves qui le d´ esirent ` a revoir les math´ ematiques ´ etudi´ ees au lyc´ ee dans l’optique des classes de PCSI et MPSI. La seconde partie, constitu´ ee d’approfondissements, est destin´ ee aux ´ el` eves particuli` erement int´ eress´ es par les math´ ematiques et ayant d´ ej` a une pratique importante des outils pr´ esent´ es dans la premi` ere partie. Il s’agit en fait d’un premier pas tr` es significatif dans le programme de CPGE. Cette partie est compl´ et´ ee par un probl` eme et par un petit texte indiquant dans quel esprit ce document a ´ et´ e con¸ cu. Le texte introduit plusieurs notions et r´ esultats qui ne font pas partie des programmes de Terminale. Ces compl´ ements apparaissent de mani` ere tr` es limi- t´ ee dans la premi` ere partie, beaucoup plus nettement dans la seconde. Il va de soi qu’ils seront int´ egralement repris en premi` ere ann´ ee de CPGE. Chaque partie est organis´ ee en chapitres, eux-mˆ emes divis´ es en paragraphes. Un paragraphe commence par des rappels et/ou des exemples et est suivi d’une liste fournie d’exercices. Ces exercices re¸ coivent pour la plupart un corrig´ e suc- cinct. Les r´ esultats des exemples et exercices signal´ es par le symbole (∗) sont classiques en CPGE ; certains sont d’ailleurs des r´ esultats de cours. 1 Le texte est compl´ et´ e, de mani` ere non syst´ ematique, par des commentaires historiques permettant de mettre en perspective les r´ esultats pr´ esent´ es ; la lec- ture de ces commentaires n’est nullement indispensable ` a la compr´ ehension de la partie proprement math´ ematique. D’autre part, dans un but d’efficacit´ e p´ eda- gogique, les th` emes et exercices pr´ esent´ es ici ont ´ et´ e choisis de mani` ere ` a former un ensemble aussi coh´ erent que possible. Vous retrouverez certains objets et certaines m´ ethodes ` a plusieurs reprises, les renvois ´ etant souvent explicit´ es. Les exercices sont vari´ es. Certains sont des applications directes, parfois r´ e- p´ etitives, du programme de Terminale ou des compl´ ements de cours propos´ es dans le texte. Indispensables pour acqu´ erir des bases solides et des r´ eflexes ef- ficaces, ils sont ` a travailler en priorit´ e. D’autres, plus ambitieux, font ´ etablir des r´ esultats int´ eressants et/ou souvent utiles. Les consid´ erations esth´ etiques ou culturelles ont eu leur part dans la s´ election effectu´ ee. En revanche, les exercices « ` a astuce », dont la vertu formatrice est tr` es faible, ont ´ et´ e exclus. Les symboles (F), (AD), (D), (TD) d´ esignent respectivement des exercices « faciles », « assez difficiles », « difficiles », « tr` es difficiles ». Ces mentions sont d’une part subjectives, d’autre part relatives : le niveau d’ensemble des exercices propos´ es est tr` es ´ elev´ e par rapport au programme de Terminale. Comment utiliser ce document Il est recommand´ e d’´ etudier la premi` ere partie du texte en suivant l’ordre propos´ e. La seconde peut ˆ etre abord´ ee de mani` ere plus libre. Pour chaque paragraphe, le travail se d´ ecouple en deux phases. La premi` ere est l’´ etude des rappels, compl´ ements et exemples. Pour chaque exemple, il est conseill´ e de refaire compl` etement (et sans recopier le texte) raisonnements et calculs. Cette ´ etape d’appropriation du contenu est essentielle. La seconde phase est la r´ esolution d’une partie des exercices. La liste propos´ ee est tr` es copieuse. Cette abondance permet des entraˆ ınements de niveaux vari´ es. Ne pas trouver, mˆ eme en y passant du temps, un exercice (F) ou (AD) ne pr´ ejuge en rien de votre future r´ eussite en CPGE. S´ echer fait partie de l’activit´ e math´ ematique. D’une part, aboutir apr` es un long travail procure une grande satisfaction. D’autre part, mˆ eme en cas d’´ echec, le temps pass´ e ` a chercher permet de progresser et de comprendre r´ eellement une solution ; inversement, lire le corrig´ e d’un exercice sans s’ˆ etre r´ eellement engag´ e dans la recherche ne procure le plus souvent aucun b´ en´ efice. Nous esp´ erons que l’´ etude de ce document vous procurera plaisir et profit. 2 Sommaire I. OUTILS ET TECHNIQUES DE BASE 5 1 R´ edaction, modes de raisonnement 6 1.1 R´ edaction, quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Vocabulaire et notations utilis´ es . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 G´ en´ eralit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Le raisonnement par r´ ecurrence (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Le raisonnement par r´ ecurrence (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Le raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Le raisonnement par analyse-synth` ese . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Calculs alg´ ebriques 19 2.1 G´ en´ eralit´ es et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Le symbole P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Sommes t´ elescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Le symbole Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Factorielle d’un entier naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Trigonom´ etrie et nombres complexes 31 3.1 Trigonom´ etrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 In´ egalit´ es, trinˆ ome du second degr´ e r´ eel 38 4.1 In´ egalit´ es et in´ equations : m´ ethodes ´ el´ ementaires . . . . . . . . . 38 4.2 Le trinˆ ome du second degr´ e r´ eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5 D´ erivation 42 5.1 Calcul des d´ eriv´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.2 Tangente ` a un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.3 Applications de la d´ erivation . . . . . . . . . . . uploads/Philosophie/ preparer-entree-en-prepa-scientifique.pdf