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Physique pour tous Cours 1 : Mécanique Classique Antoine Tilloy ∗† Résumé Notes

Physique pour tous Cours 1 : Mécanique Classique Antoine Tilloy ∗† Résumé Notes inachevées 1 du cours de mécanique classique. On y construit la mécanique Newtonienne à partir des forces et de la conservation de la quantité de mouvement de manière un peu axiomatique. On intro- duit ensuite brièvement l’énergie et le moment cinétique pour traiter deux exemples où l’on peut tout résoudre sans calculs. On donne enﬁn quelques très courts compléments sur le calcul diﬀérentiel rigoureux, la mécanique analytique et le chaos. 1 Introduction 1.1 Quel intérêt Il peut paraître inutile d’étudier la mécanique classique alors qu’on sait per- tinemment depuis le début du XXe siècle qu’elle est fausse et dépassée par la mécanique quantique et la relativité. Pourtant, c’est la physique qui est, et de très loin, la plus étudiée. Un ingénieur, par exemple, n’apprend rien d’autre ce qui peut sembler surprenant. L’origine du paradoxe vient du fait que la mé- canique classique est une excellente approximation de la mécanique quantique et de la relativité dans la quasi totalité des situations que l’on rencontre dans la vie courante. Pour construire un pont, une voiture ou même un avion, on n’a besoin de rien d’autre. Les corrections dues à la mécanique quantique ap- paraissent quand le caractère ondulatoire et insaisissable de la matière devient prépondérant, c’est à dire à l’échelle de l’atome 2. La relativité règne quand les vitesses sont du même ordre de grandeur que la vitesse de la lumière ou que les masses sont gigantesques (à l’échelle de la mécanique céleste). Mais la vie de tous les jours est assez éloignée de ces situations pathologiques et c’est ce qui explique que la mécanique classique garde un large domaine de validité. Techni- quement plus simple que ses descendantes, elle a aussi l’avantage de s’appuyer sur l’intuition physique usuelle développée par des millions d’années de sélection darwinienne 3. ∗Laboratoire de Physique Théorique, École Normale Supérieure, Paris †contact : tilloy@lpt.ens.fr 1. Dernière modiﬁcation : 14 octobre 2014 2. Même si la mécanique quantique se manifeste de plus en plus à des échelles macrosco- piques, comme avec la superconductivité, la superﬂuidité, et la condensation de Bose-Einstein 3. Il est intéressant de se demander si la mécanique quantique nous semblerait si contre intuitive si nous avions évolué dans un monde où la constante de Planck h (qui détermine 1 Outre son large domaine de validité, la mécanique classique a aussi l’avantage d’être une théorie très pure d’un point de vue conceptuel, simple et fondée sur peu de postulats élémentaires. Elle nous fournira plus tard une théorie témoin permettant de comprendre et de comparer les théories plus avancées comme la mécanique quantique et la relativité restreinte. 1.2 La genèse Il serait trop long de donner toute l’histoire de la physique pré-Newtonienne et je serais probablement assez incompétent pour le faire. On peut tout de même donner brièvement quelques explications à l’émergence relativement tardive de la mécanique et voir ce qui l’a ﬁnalement permise. Avant Newton, la mécanique ne s’est pas beaucoup développée en Occident car personne n’osait vraiment remettre en question la physique d’Aristote. Cette dernière stipule grosso modo que tout mouvement doit avoir une cause, que le repos est l’état normal en l’absence de force et que la vitesse d’un corps est essentiellement proportionnelle à la force qu’on lui applique : ⃗ v ∝⃗ fext. Il est diﬃcile de faire de la physique avec une loi pareille. Rien que pour expliquer la trajectoire d’une ﬂèche dans l’air il faut faire de terribles contorsions, dire qu’il y a de l’air au bout de la ﬂèche qui continue à la faire avancer une fois qu’elle a quitté l’arc. On est bloqué. C’est par le biais de la mécanique céleste que l’on arrive en Occident à comprendre que c’est plutôt le mouvement uniforme qui est la norme et l’accélération qui est la conséquence des forces. Moins écrasés par le poids d’Aristote, des physiciens perses comme Alhazen avaient déjà eu une telle intuition au Xe siècle. A partir de la ﬁn du XVe siècle, des physiciens occidentaux commencent à observer le mouvement des planètes de manière précise. Copernic découvre que la terre tourne autour du soleil. L’aﬃnement des observations dans les années qui suivent permet aux astronomes de se rendre compte que les trajectoires ne sont pas exactement circulaires mais forment une ellipse dont le soleil est un des foyers. L’amélioration des instruments de mesure (avec notamment la lunette astronomique de Galilée) permet de voir que l’aire balayée à chaque instant par le segment reliant le centre d’une planète au soleil reste constante comme fonction du temps. Cette observation apparemment anodine montre 4 que la force exercée sur la planète et qui courbe sa trajectoire est dirigée vers le soleil. C’est un premier indice du fait que le soleil attire les autres astres. Avant Newton, les physiciens cherchent surtout à comprendre la cinématique des corps c’est à dire la manière dont se fait le mouvement indépendamment de sa cause. C’est en utilisant les données détaillées sur la cinématique des corps, notamment des corps célestes, que Newton a pu trouver ses lois fondamentales et enﬁn comprendre quantitativement la dynamique. Alors que la théorie était bloquée, c’est de l’accumulation de données expérimentales qu’est venu le salut. pour simpliﬁer l’échelle à laquelle les eﬀets quantiques se manifestent) était bien plus grande et que la bizarrerie se manifestait à notre échelle. 4. Une explication assez claire et presque sans mathématiques de cette équivalence peut être trouvée dans The Character of Physical Law de Richard Feynman 2 2 Les lois et les forces On va dans un premier temps construire la mécanique en utilisant les forces plutôt que l’énergie c’est à dire en utilisant une approche similaire à celle suivie par Newton. On va essayer néanmoins de distinguer plus précisément ce qui relève des postulat de ce qui relève des déﬁnitions, distinction qui n’est présente ni chez Newton ni en général dans les cours standards de mécanique où les deux sont intriqués. Cette confusion n’est pas très gênante si la ﬁn ultime est d’appliquer la théorie, elle est plus problématique si l’objectif est de s’en inspirer pour en construire de nouvelles. La présentation va donc avoir l’air un peu formelle avec des déﬁnitions et des postulats, mais il ne faut pas se laisser impressionner. 2.1 Les référentiels Galiléens Le mouvement étant une donnée relative, il faut pour faire de la physique se donner un cadre (dans l’introduction on aurait dit une scène de théâtre) par rapport auquel mesurer les trajectoires des corps. Ce cadre, c’est le référentiel, relativement auquel sont déﬁnies les notions d’immobilité, de mouvement, de vitesse, c’est à dire la cinématique. La dynamique est quant-à-elle contenue dans un unique postulat portant sur l’existence de référentiels particuliers dans lesquels elle est presque triviale. Postulat 1 (Existence de référentiels galiléens). Il existe une famille de réfé- rentiels, appelés galiléens tels que tout point matériel isolé est soit au repos, soit animé d’un mouvement rectiligne et uniforme. Si on a un sous la main un référentiel galiléen, alors tous les autres se re- trouvent en translatant le premier à une vitesse uniforme. La présentation ha- bituelle consiste à postuler la loi suivante (appelée première loi de Newton) : «Dans un référentiel galiléen, la vitesse d’un point matériel est constante si et seulement si la somme des forces qui s’exercent sur ce point est nulle ». On déﬁnit ensuite les référentiels galiléens de la manière suivante : «Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel la première loi de Newton est vériﬁée.» Mais la déﬁnition est alors assez logiquement circulaire. Le seul postulat que l’on fait est en réalité qu’un tel référentiel peut être trouvé. 2.2 La quantité de mouvement Déﬁnition 1 (Quantité de mouvement). ⃗ p := m · ⃗ v (1) La quantité de mouvement se déﬁnit aussi bien pour un système composite, dans ce cas elle vaut simplement la somme des quantités de mouvement de chaque partie du système. 3 Déﬁnition 2 (Forces). ˙ ⃗ p(t) = X ⃗ fext (2) La dérivée de la quantité de mouvement d’un système est égale à la somme des forces extérieures qui s’exercent sur lui, ou plutôt : on appelle forces extérieures la dérivée de la quantité de mouvement. Cette déﬁnition est en générale donnée comme un principe que l’on appelle alors principe fondamental de la dynamique mais il faut souligner que tant que l’on n’a pas proposé d’expression pour une force donnée, il s’agit juste d’une déﬁnition générale. Pour le moment on ne postule rien sur la réalité physique. On peut juste préciser à ce stade que cette déﬁnition sera pertinente d’un point de vue physique, i.e. que ce que l’on déﬁnit ainsi comme une force correspondra à l’idée usuelle que l’on s’en fait. On peut aussi espérer que les forces auront une expression mathématique simple. Mais il faut insister (car cette présentation est peu courante) : tant qu’on n’a pas donné l’expression mathématique d’une force donnée, on n’a absolument rien postulé. Remarque (Lois de Newton). On formule souvent les principes fondamentaux uploads/Philosophie/ mecanique-classique.pdf