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Il’ 2 Université de Montréal Le structuralisme en philosophie des mathématiques

Il’ 2 Université de Montréal Le structuralisme en philosophie des mathématiques par Tuan-Huy Nguyen Département de philosophie Faculté des arts et des sciences Mémoire présentée à la Faculté des études supérieures en vue de l’obtention du grade de maître (M.A.) en philosophie option enseignement au collégial Août2006 Ç-’ Dfl\ © Tuan-Huy Nguyen 2006 r J n I (--J I (f n r. ., Université de Monfréal Direction des bibliothèques AVIS L’auteur a autorisé l’Université de Monttéal à reproduite et diffuser, en totalité ou en partie, par quelque moyen que ce soit et sur quelque support que ce soit, et exclusivement à des fins non lucratives d’enseignement et de recherche, des copies de ce mémoire ou de cette thèse. L’auteur et les coauteurs le cas échéant conservent la propriété du droit d’auteur et des droits moraux qui protègent ce document. Ni la thèse ou le mémoire, ni des extraits substantiels de ce document, ne doivent être imprimés ou autrement reproduits sans l’autorisation de l’auteur. Afin de se conformer à la Loi canadienne sur la protection des renseignements personnels, quelques formulaires secondaires, coordonnées ou signatures intégrées au texte ont pu être enlevés de ce document. Bien que cela ait pu affecter la pagination, il n’y a aucun contenu manquant. NOTICE The author of this thesis or dissertation has granted a nonexciusive license allowing Université de Montréal to reproduce and publish the document, in part or in whole, and in any format, solely for noncommercial educational and research purposes. The author and co-authors if applicable retain copyright ownership and moral rights in this document. Neither the whole thesis or dissertation, flot substantial extracts from it, may be printed or otherwise reproduced without the author’s permission. In compliance with the Canadian Privacy Act some supporting forms, contact information or signatures may have been removed from the document. While this may affect the document page count, it does flot represent any loss of content from the document. Université de Montréal Faculté des études supérieures Ce mémoire intitulé: Le structuralisme en philosophie des mathématiques présenté par: Tuan-Huy Nguyen a été évalué par un jury composé des personnes suivantes: président-rapporteur directeur de recherche ‘ I Lt’Q membre du jury Résumé La notion de structure, qui est au coeur de la thèse du structuralisme en philosophie des mathématiques (SPM), trouve diverses conceptions. Nous constatons, dans la littérature, deux orientations méthodologiques pour la théorisation de cette notion. L’une s’articule à l’intérieur d’un cadre ensembliste et modéliste. L’autre se déploie à l’intérieur de la théorie des catégories. La présente recherche porte sur les types de structuralisme se fondant sur la première orientation méthodologique. Plus précisément, nous examinons les thèses de Stewart Shapiro, Michael D. Resnik et Geoffrey Hellman. Nous montrons que, malgré les divergences entretenues par celles-ci sur le statut ontologique des structures, ces thèses souffrent d’une même limitation interne due à leur orientation méthodologique et à leur conception réaliste de la sémantique. Étant inaptes à nous offrir une notion uniforme de structure pour une compréhension structurelle et générale des mathématiques, elles ne peuvent répondre aux finalités du $PM. Mots clés Structuralisme, structure, philosophie des mathématiques, catégoricité, identité, ontologie. Abstract The notion of structure, at the core of the thesis of the structuralism in philosophy of mathematics (SPM), finds many conceptions. In the literature, we find two methodological orientations to theorize this notion. One is based on the set theory and the model theory. The other is based on the theory of category. The present research examines the type of structuralism following the first methodological orientation. More precisely, we analyze the thesis of Stewart Shapiro, Michael D. Resnik and Geoffrey Heliman. We show that in spite of the divergences maintained by these theses on the ontological status of structures they suffer from the same internai limitation due to their methodologicai orientation and their realistic conception of semantics. Being incapable to construct a uniform concept of structure for a structural and general comprehension of mathematics, these theses cannot answer the finalities of the SPM. Keywords: Strncturalism, structure, philosophy of mathematics, categoricity, identity, ontology. Table des matières RÉSUMÉ iii ABSTRACT IV TABLE DES MATIÈRES y INTRODUCTION 1. OBJET, IDENTITÉ, OBJECTIVITÉ ET LE SPM $ 1.1 LES OBJETS ET LEURS CRITÈRES D’IDENTITÉ 8 1.2 DEux CONCEPTIONS DE L’OBJECTIVITÉ 13 1.3 LE STRUCTURALISME EN PHILOSOPHIE DES MATHÉMATIQUES 15 2. UN STRUCTURALISME ORIENTÉ OBJET 2.1 UNE THÉORIE RÉALISTE DES STRUCTURES 22 2.1.2 Fléinents critiques 32 2.1.3 Cohérence et catégoricité 38 2.2 UN ANTI-RÉALISME DES STRUCTURES 47 2.2.1 La stratégie ontique 49 2.2.2 La stratégie modale 55 CONCLUSION 63 BIBLIOGRAPHIE 67 Introduction Le terme « structuralisme» a des significations diverses selon le contexte de son usage. Est-ce que parlons-nous du structuralisme en linguistique, en anthropologie, en littérature, ou encore en biologie ? De manière générale, ce terme est utilisé dans divers domaines d’étude pour qualifier une doctrine, à l’intérieur d’un domaine particulier, se fondant sur la notion de structure. La polysémie du terme «structuralisme » est due à la polysémie du terme « structure »• À chaque forme de structuralisme correspond une notion ou des notions de structure qui sont en fonction de la nature du domaine des objets étudiés. Ainsi, chaque structuralisme d’un domaine d’étude particulier n’étudie qu’une classe de « structures » en particulier. Malgré cette diversité, il est possible de traiter uniformément toutes les notions de structures particulières par les méthodes mathématiques en faisant abstraction de la nature des objets situés dans ces structures. Chaque type de structures observées est une exemplification d’une structure mathématique. À examiner la relation inverse entre les mathématiques et les autres domaines, il nous semble que la méthode mathématique est la source conceptuelle par laquelle chaque forme de structuralisme doit prendre racine pour se déployer. En poussant plus loin ce raisonnement, ne pouvons-nous pas conclure que les mathématiques constituent la science générale des structures ? Certains philosophes contemporains semblent adopter une telle position en proposant un structuralisme en philosophie des mathématiques (SPM). Dès lors, le $PM doit 2 répondre à la question en quoi consiste la notion de structure mathématique. Implicitement, la notion d’objet mathématique doit être aussi explicitée. Cette vue structurelle des mathématiques ne date pas d’hier, nous en trouvons des traces en philosophie chez Platon et en mathématiques chez Dedekind, Hilbert, pour ne nommer que ceux-ci.’ D’après Corry (1996), la notion de structure mathématique a gagné en importance avec le développement de l’algèbre moderne. Pour résoudre des équations ou pour déterminer si un ensemble d’équations possèdent une ou des solutions, les mathématiciens ont orienté leur attention des opérations spécifiques définies sur un domaines d’objets vers les propriétés structurelles des domaines d’objets. Le moteur, derrière ce changement de perspective en mathématiques, a été le développement de nouvelles techniques qui ce sont avérées fructueuses. Corry nous offre l’exemple de la théorie des idéaux des nombres premiers de Dedekind dans le passage suivant: «Dedekind gradually uncovered and developed the typical proof techniques that his theory was able to offer, as well as the potential perspective opened by the shift of attention away from the study of operations and relations among the algebraic numbers themselves and increasingly toward the properties oftheir collections as such, and the interrelatïons among them. »2 Le cas de Dedekind est une extension d’un autre exemple d’importance historique illustrant cette situation, c’est-à-dire le développement de la théorie de Galois et de la notion de groupe. Il n’a pas toujours été le cas que les mathématiciens se représentent la pratique des mathématiques comme essentiellement l’étude de Voir Reck, E. H. (2003), «Dedekind’s Structuralism: An Interpretation and Partial Defense,» Source Synthese: An International Journalfor Episteinology, MethodoÏogy and Fhilosophy ofScience, vol. 137, pp. 369-4 19. 2 Corry, L. (1996), Modem Aïgebra and the Rise ofMathernaticat Structures, Birkhauser Verlag, p. 91. 3 structures, mais cette nouvelle compréhension des mathématiques, une fois initiée, a changé substantiellement le panorama de la pratique des mathématiques. Subséquemment, le développement des théories algébriques s’est réalisé sous cette nouvelle approche des mathématiques qui tendra de plus en plus vers l’abstraction. Comme Corry le note « The rise of the structural image of algebra will imply a change in the conceptual hierarchy: abstract structures will be defined and studied in advance, so the numbers systems may be introduced as specific instances of them. » La venue de cette compréhension structurelle des mathématiques s’est réalisée par (et a permis) le déploiement de nouvelles méthodes tendant vers l’abstraction. Un moment important de cet avènement a été le développement de la méthode axiomatique. Sur ce dernier point, une mise en relation entre une approche structurelle et la méthode axiomatique a souvent été effectuée par une interprétation particulière des travaux d’Hilbert portant sur les fondations de la géométrie.4 En outre, toute approche structurelle ne prend sens que dans l’idée de l’existence de formes invariantes immanentes à des domaines d’objets. La relation entre une approche structurelle et la méthode axiomatique doit reposer sur la constatation précédente. Mais, dans quelle mesure devons-nous comprendre cette relation ? La situation n’est pas claire, à ce sujet Corry observe que « The search for this kind uploads/Philosophie/ nguyen-tuan-huy-2006-memoire 1 .pdf