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Chapitre 2 Systèmes dynamiques topologiques Dans ce chapitre, nous nous intéres

Chapitre 2 Systèmes dynamiques topologiques Dans ce chapitre, nous nous intéressons à la classe des systèmes dynamiques topolo- giques. Ce sont les systèmes dynamiques où l’ensemble X est au moins un espace topolo- gique et l’application f ou le ﬂot Φ vériﬁent certaines propriétés de continuité. 2.1 Notion du système dynamique topologique 2.1.1 Les systèmes dynamiques à temps discret Soit X un espace topologique. Une application continue f : X →X est dite système dynamique topologique à temps discret ou tout simplement système dynamique topologique. Lorsque f est un homéomorphisme, c’est-à-dire f est bijective, continue et f −1 est continue, alors on dit que f est un système dynamique topologique inversible. Exemple 2.1.1 Pour α ∈R, la rotation Rα : S1 →S1 est un homéomorphisme du cercle S1. Donc Rα est un système dynamique topologique inversible sur le cercle S1. Pour traiter cet exemple, procède en trois étapes. Etape 1 On munit [0,1]/ {0,1} d’une topologie le rendant homéomorphe au cercle S1 de R2 muni de la topologie usuelle induite par celle de R2. C’est pour cette raison que nous confon- dons [0,1]/ {0,1} avec S1. Cette topologie quotient τq sur [0,1]/ {0,1} est la collection n O ⊂[0,1]/ {0,1} | q−1 (O) est un ouvert de [0,1] o . L’application quotient q est donc par déﬁnition, une application continue. Par passage au complémentaire, un ensemble F de [0,1]/ {0,1} est un fermé si et seulement si q−1 (F) est un fermé. Prof. Boualem Alleche - Systèmes dynamiques - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S2) Prof. Boualem Alleche - Systèmes dynamiques - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S2) Prof. Boualem Alleche - Systèmes dynamiques - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S2) 20 Systèmes dynamiques topologiques La topologie τq de [0,1]/ {0,1} est engendrée par la base B = {]a,b[ | 0 < a < b < 1} ∪{[0,a[ ∪]b,1[ | 0 < a < b < 1}. Etape 2 L’espace [0,1]/ {0,1} muni de la topologie ainsi déﬁnie est homéomorphe au cercle S1 de R2 muni de la topologie usuelle induite par celle de R2. On déﬁnit l’application f : [0,1]/ {0,1} →S1 par f (x) = (cos2πx,sin2πx). où S1 = {(cos2πx,sin2πx) | x ∈[0,1[}. Ici x ∈[0,1]/ {0,1} est confondu avec sa classe d’équi- valence [x]. Etape 3 Pour tout α ∈R, l’application rotation du cercle Rα : S1 →S1 est un homéomorphisme sur S1. Pour la démonstration, voir TD, (Série d’exercices no 2). 2.1.2 Les systèmes dynamiques à temps continu Soit X un espace topologique. 1. Un ﬂot (ϕt)t∈R où ϕt : X →X est une application telle que (t,x) 7− →ϕt (x) est conti- nue sur R × X est appelé un ﬂot topologique. 2. Un semi-ﬂot (ϕt)t∈R+ où ϕt : X →X est une application telle que (t,x) 7− →ϕt (x) est continue sur R+ × X est appelé un semi-ﬂot topologique. Un ﬂot ou un semi-ﬂot topologique est aussi appelé un système dynamique topologique à temps continu ou tout simplement un système dynamique topologique. On en déduit les remarques suivantes. — Si (ϕt)t∈R+ est un semi-ﬂot topologique, alors l’application ϕt : X →X est continue, pour tout t ∈R+. — Si (ϕt)t∈R est un ﬂot topologique, alors l’application ϕt : X →X est un homéomor- phisme, pour tout t ∈R. Exemple 2.1.2 Soit f : Rn →Rn une fonction Lipschitzienne de constante L > 0. Alors, pour tout x0 ∈Rn, le problème de Cauchy        x′ (t) = f (x(t)) x(0) = x0 admet une solution unique x(,x0) déﬁnie sur R tout entier. Le ﬂot (ϕt)t∈R associé l’équa- tion diﬀérentielle autonome x′ (t) = f (x(t)) où ϕt (x0) = x(t,x0) est un système dynamique topologique à temps continu (ou ﬂot topologique). Prof. Boualem Alleche - Systèmes dynamiques - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S2) Prof. Boualem Alleche - Systèmes dynamiques - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S2) Prof. Boualem Alleche - Systèmes dynamiques - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S2) 2.1 Notion du système dynamique topologique 21 La démonstration concernant l’existence et l’unicité de la solution du problème de Cauchy ci-dessus ainsi que la dépendance continue est décrite dans ce qui suit. Pour plus de détails, on peut se référer à [6, 7, 9, 4], par exemple. Etape 1 Existence locale et unicité. Théorème 2.1.3 (Cauchy-Lipschitz) Soit f : R×Rn →Rn une fonction continue sur R×Rn et Lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable sur Rn avec une constante de Lipschitz M > 0. Pour (t0,x0) ∈R × Rn et 0 < δ < 1 M , le problème de Cauchy        x′ (t) = f (t,x(t)) x(t0) = x0 admet une solution unique xt0,x0 (t) déﬁnie sur [t0 −δ,t0 + δ]. Etape 2 Existence globale et unicité. Le résultat suivant sur la concaténation des solutions permet de déﬁnir une solution unique sur tout R. Proposition 2.1.4 (Solution globale) Avec les notations du théorème ci-dessus, la solution unique xt0,x0 (t) du problème de Cauchy est déﬁnie sur tout R. Etape 3 Dépendance continue par rapport aux valeurs initiales. Nous citons ici le lemme de Gronwall. Pour la démonstration, on peut voir [9, 4], par exemple. Prof. Boualem Alleche - Systèmes dynamiques - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S2) Prof. Boualem Alleche - Systèmes dynamiques - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S2) Prof. Boualem Alleche - Systèmes dynamiques - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S2) 22 Systèmes dynamiques topologiques Lemme 2.1.5 (Lemme de Gronwall) Soient u,v : [a,b] →R+ deux fonctions continues et C ≥0 une constante. Si u (t) ≤C + t Z a v (s)u (s) ds ∀t ∈[a,b], alors u (t) ≤C exp t Z a v (s) ds ∀t ∈[a,b]. Nous montrons ensuite comment utiliser le lemme de Gronwall pour obtenir le résul- tat sur la dépendance continue par rapport aux valeurs initiales de la solution du pro- blème de Cauchy dans le cas autonome. Etape 4 Continuité du ﬂot (ϕt)t∈R. 2.2 Les ensembles limites 2.2.1 Les systèmes dynamiques à temps discret Soient X un ensemble et x ∈X. 1. Pour une application f : X →X, l’ensemble ω-limite de x est déﬁni par ω(x) = ωf (x) = \ n∈N∗ {f m (x) | m ≥n}. 2. Pour une application inversible f : X →X, l’ensemble α-limite de x est déﬁni par α (x) = αf (x) = \ n∈N∗ {f −m (x) | m ≥n}. Exemple 2.2.1 Soit Rα : S1 →S1. Pour α ∈Q, on a ω(x) = α (x) = γ (x) ∀x ∈S1. Pour α ∈R \ Q, les deux ensembles {Rm α (x) | m ≥n} et {R−m α (x) | m ≥n} sont dense dans S1, pour tout x ∈S1. On a donc ω(x) = α (x) = S1 ∀x ∈S1. Prof. Boualem Alleche - Systèmes dynamiques - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S2) Prof. Boualem Alleche - Systèmes dynamiques - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S2) Prof. Boualem Alleche - Systèmes dynamiques - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S2) 2.2 Les ensembles limites 23 Voici maintenant quelques propriétés et caractérisations des ensembles ω-limites et des ensembles α-limites. Proposition 2.2.2 Soient (X,d) un espace métrique, f : X →X une fonction et x ∈X. Alors, les propriétés suivantes sont vraies. 1. y ∈ω(x) si et seulement s’il existe une suite croissante (nk)k dans N∗vers +∞telle que lim k→+∞f nk (x) = y. 2. Si f est continue, alors ω(x) est positivement f -invariant. On a aussi le résultat suivant. Proposition 2.2.3 Soient (X,d) un espace métrique, f : X →X une fonction et x ∈X. Si la semi-orbite positive γ+ (x) est relativement compacte, alors les propriétés suivantes sont vraies. 1. ω(x) est un compact non vide. 2. lim n→+∞inf{d (f n (x),y) | y ∈ω(x)} = 0. Maintenant, nous avons des résultats analogues pour les ensembles α-limites dans le cas où f est inversible. Proposition 2.2.4 Soient (X,d) un espace métrique, f : X →X une fonction inversible et x ∈X. Alors, les propriétés suivantes sont vraies. 1. y ∈α (x) si et seulement s’il existe une suite croissante (nk)k dans N∗vers +∞telle que lim k→+∞f −nk (x) = y. 2. Si f −1 est continue, alors α (x) est négativement f -invariant. On a aussi le résultat suivant. Prof. Boualem Alleche - Systèmes dynamiques - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S2) Prof. Boualem Alleche - Systèmes dynamiques - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S2) Prof. Boualem Alleche - Systèmes dynamiques - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S2) 24 Systèmes dynamiques topologiques Proposition 2.2.5 Soient (X,d) un espace métrique, f : X →X une fonction inversible et x ∈X. Si la semi-orbite négative γ−(x) est relativement compacte, alors les propriétés suivantes sont vraies. 1. α (x) est un compact non vide. 2. lim n→+∞inf{d (f −n (x),y) | y ∈α (x)} = 0. 2.2.2 Les systèmes dynamiques à temps continu Soient X un ensemble et x uploads/Philosophie/ notes-courstd-sd-chap2-3.pdf