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République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Sup

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientiﬁque UNIVERSITÉ MOHAMED KHIDER, BISKRA FACULTÉ des SCIENCES EXACTES et des SCIENCES de la NATURE et de la VIE DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES Polycopie en Mathématique Option : Probabilités Par Dr. SAYAH Abdallah Support de Cours : La Théorie des Probabilités 2014/2015 Table des matières Table des matières 2 Introduction 1 1 Espace de probabilités 3 1.0.1 Expérience aléatoire et évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.0.2 Algèbre et σ-algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.0.3 Espace de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.0.4 Probabilité conditionnelle et indépendance . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Variables aléatoires 14 2.0.5 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.0.6 Type de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.0.7 Caractéristiques d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.0.8 Loi d’une fonction d’une variable aléatoire Y = Ψ (X) . . . . . . . . 31 3 Couple aléatoire 35 3.0.9 Fonction de répartition d’un couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.0.10 Loi de probabilité d’un couple aléatoire discrètes . . . . . . . . . . . 36 3.0.11 Loi de probabilité d’un couple aléatoire continue . . . . . . . . . . . 38 4 Lois de probabilités usuelles 52 2 Table des matières 4.0.12 Lois disrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.0.13 Lois absoluments continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5 Convergence des suites de variables aléatoires 70 5.0.14 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.0.15 Convergence en moyenne d’ordre p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.0.16 Convergence prèsque sûre ou convergence forte . . . . . . . . . . . . 73 5.0.17 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Bibliographie 80 3 Introduction Ce polycopie est un support du cours "Introduction aux probabilités" de quatrième année DES Mathématiques (Diplôme des études supérieures en Mathématiques) depuis l’année 2000. Pour la théorie des probabilités, on présente les deux résultats fondamentaux suivants : Les lois faible et forte des grands nombres qui assure la convergence en probabilité et près que sûre de la moyenne empirique des variables aléatoires vers la moyenne théorique quand le nombre d’observations indépendantes augmente, et le théorème central limite (TCL) qui précise la vitesse de cette convergence. Un résumé de contenue du polycopie est le suivant : Le premier chapitre est consacré à une introduction sur la théorie des probabilités où Il aborde quelques notions de l’espace de probabilités et Il présente également les notions de l’expérience aléatoire et la déﬁnition des évènements, l’algèbre et la σ algèbre ainsi que les probabilités conditionnelles et indépendance. Le second chapitre est consacré à l’étude des variables aléatoires, ainsi que leurs types (discrètes, continues) et leurs caractéristiques.par exemple les tendances centrales et les paramètres de dispersion. Dans le troisième chapitre nous étudions les couples aléatoires, sa fonction de distribution ainsi que la loi de probabilité d’un couple discret ou continue. Le quatrième chapitre est consacré à une large déﬁnition et étude de lois de variables aléatoires discrétes et continues 1 Introduction Le dernier chapitre est consacré à une présentation de diﬀérents modes de convergence de suites de variables aléatoires, comme la convergence en probabilité, en loi, présque sûre, en moyenne d’ordre p, et avec en particulier les lois faible et forte des grands nombres, le théorème central limite. 2 Chapitre 1 Espace de probabilités Historiquement, la théorie des probabilités s’est développé à partir du XVIIe siècle autour des problèmes de jeux dans des situations où le nombre de cas possibles est ﬁni dont elle fournit des modèles mathématiques permettant l’étude d’expériences dont le résultat ne peut être prévu avec une totale certitude. 1.0.1 Expérience aléatoire et évènements Expérience aléatoire Toute expérience qu’on ne peut pas connaitre son résultat par avance lorsqu’on répète l’expérience dans les mêmes conditions s’appelle expérience aléatoire. Exemple 1 : Le jet d’un dé, ainsi que l’extraction d’une carte d’un jeu sont des expé- riences aléatoires. Espace des évènements Dans une expérience aléatoire, une proposition relative au résultat de cette expérience s’appelle un évènement par exemple dans le jet d’une pièce de monnaie on a deux résultats possibles pile où face. L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire s’appelle espace des 3 Chapitre 1. Espace de probabilités évènements ou encore ensemble fondamental, et on le notera par Ω. Exemple 2 : Lorsqu’on jette un dé alors l’ensemble fondamental est Ω= {1; 2; 3; 4; 5; 6} , et quand on jette 2 dés alors : Ω= {(1; 2) , (1; 3) ...etc} . A tout évènement A, on l’associe son opposé noté ¯ A tel que la réalisation de A exclue la réalisation de l’autre et réciproquement. L’évènement ¯ A représente dans Ωla partie complémentaire de A. Evènement élémentaire et composé Déﬁnition 1 : Un évènement élémentaire est un sous ensemble de Ω qui a un seul élément, et un évènement composé est un ensemble d’éléments élémentaires. Exemple 3 : Dans le jet d’un dé, {2} est un évènement élémentaire, avoir un chiﬀre pair est un évènement composé {2; 4; 6} 1.0.2 Algèbre et σ-algèbre L’ensemble fondamental Ωou ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire soit il est : 1) Fini : contient un nombre ﬁni d’éléments 2) Inﬁni dénombrable 3) Continu (tout intervalle de R). On déﬁnie l’algèbre dans le cas ﬁni et la σ-algèbre dans les deux autres cas. Déﬁnition 2 : Soit A une classe de parties de Ω, on dit que A est une algèbre d’évène- ments sur Ωsi elle vériﬁe 1) Ω∈A 2) ∀A ∈A = ⇒¯ A ∈A 3) ∀A, B ∈A = ⇒A ∪B ∈A. 4) ∀A, B ∈A = ⇒A ∩B ∈A. 4 Chapitre 1. Espace de probabilités De cette déﬁnition on peut déduire que : 1) ¯ Ω∈A. 2) ∀Ai (i ∈I ﬁni) : \ i∈I Ai ∈A. 3) ∀Ai (i ∈I ﬁni) : [ i∈I Ai ∈A. On déﬁnit également l’évènement certain qui est l’ensemble fondamental Ω, et l’évènement impossible représenté par ∅. Exemple 4 : On cite quelques exemples d’algèbres : - La famille {Ω; ∅} est une algèbre (algèbre triviale). - Soit Ωun espace des évènements, et soit A un évènement, alors l’ensemble Ω; A; ¯ A; ∅ est une algèbre sur Ωappelée algèbre de Bernoulli. - L’ensemble de parties de Ωnoté P (Ω) est une algèbre sur Ω. Déﬁnition 3 : On appelle σ-algèbre ou tribu sur un espace Ωtoute famille T qui vériﬁe : 1) Ω∈T 2) ∀A ∈T = ⇒¯ A ∈T 3) ∀Ai ∈T = ⇒ ∞ [ i=1 Ai ∈T On peut déduire de cette déﬁnition qu’une σ-algèbre est une algèbre. Exemple 5 : P (Ω) est une σ-algèbre. 1.0.3 Espace de probabilités Soit Ωun espace d’évènements et T une tribu sur Ω, alors le couple (Ω; T ) s’appelle espace probabilisable. Déﬁnition 4 : Les évènements A, B sont dits incompatibles si la réalisation de l’un exclu la réalisation de l’autre, autrement dit A ∩B = ∅ Déﬁnition 5 : Soient les évènements non vides A1, A2, ...An, alors on dit que ces évène- 5 Chapitre 1. Espace de probabilités ments forment un système complet si 1) Ai ∩Aj = ∅∀i ̸= j 2) n [ i=1 Ai = Ω. Déﬁnition 6 : On appelle probabilité sur (Ω; T ) une application P de T dans [0, 1] vériﬁant P (Ω) = 1, et pour tout ensemble dénombrable d’évènements incompatibles A1, A2, ...An... on a : P ∞ [ i=1 Ai ! = ∞ X i=1 P (Ai) (axiome σ additivité). Dans le cas où Ωest uploads/Philosophie/ polycopie-sayah-biskra.pdf