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Entre la Terminale et les CPGE scientiﬁques Mathématiques Introduction Deux que

Entre la Terminale et les CPGE scientiﬁques Mathématiques Introduction Deux questions nous parviennent fréquemment des élèves de TS ou de leurs parents. - Comment un élève de Terminale peut-il se préparer eﬃcacement aux CPGE ? - Quelles sont les mathématiques accessibles à un bachelier très intéressé par la discipline ? Ce document, destiné aux élèves de Terminale entrant en MPSI, a été élaboré pour répondre à ces deux demandes. Sa lecture n’a bien évidemment aucun caractère obligatoire. Organisation et contenu de ce texte Pour répondre aux deux demandes ci-dessus, le texte est divisé en deux grandes parties, chacune très substantielle. La première partie est un outil destiné à aider ceux des élèves qui le désirent à revoir les mathématiques étudiées au lycée dans l’optique des classes de MPSI. La seconde partie, constituée d’approfondissements, est destinée aux élèves particulièrement intéressés par les mathématiques et ayant déjà une pratique importante des outils présentés dans la première partie. Il s’agit en fait d’un premier pas très signiﬁcatif dans le programme de CPGE. Cette partie est complétée par un problème et par un petit texte indiquant dans quel esprit ce document a été conçu. Le texte introduit plusieurs notions et résultats qui ne font pas partie des programmes de Terminale. Ces compléments apparaissent de manière très limi- tée dans la première partie, beaucoup plus nettement dans la seconde. Il va de soi qu’ils seront intégralement repris en première année de CPGE. Chaque partie est organisée en chapitres, eux-mêmes divisés en paragraphes. Un paragraphe commence par des rappels et/ou des exemples et est suivi d’une liste fournie d’exercices. Ces exercices reçoivent pour la plupart un corrigé suc- cinct. Les résultats des exemples et exercices signalés par le symbole (∗) sont classiques en CPGE ; certains sont d’ailleurs des résultats de cours. Les exercices sont variés. Certains sont des applications directes, parfois ré- pétitives, du programme de Terminale ou des compléments de cours proposés 1 dans le texte. Indispensables pour acquérir des bases solides et des réﬂexes eﬃ- caces, ils sont à travailler en priorité. D’autres, plus ambitieux, font établir des résultats intéressants et/ou souvent utiles. Les symboles (F), (AD), (D), (TD) désignent respectivement des exercices « faciles », « assez diﬃciles », « diﬃciles », « très diﬃciles ». Ces mentions sont d’une part subjectives, d’autre part relatives : le niveau d’ensemble des exercices proposés est volontairement très élevé par rapport au programme de Terminale. Comment utiliser ce document Il est recommandé d’étudier la première partie du texte en suivant l’ordre proposé. La seconde peut être abordée de manière plus libre. Pour chaque paragraphe, le travail se découple en deux phases. La première est l’étude des rappels, compléments et exemples. Pour chaque exemple, il est conseillé de refaire complètement (et sans recopier le texte) raisonnements et calculs. Cette étape d’appropriation du contenu est essentielle. La seconde phase est la résolution d’une partie des exercices. La liste proposée est très copieuse. Cette abondance permet des entraînements de niveaux variés. Ne pas trouver, même en y passant du temps, un exercice (F) ou (AD) ne préjuge en rien de votre future réussite en CPGE. Sécher fait partie de l’activité mathématique. D’une part, aboutir après un long travail procure une grande satisfaction. D’autre part, même en cas d’échec, le temps passé à chercher permet de progresser et de comprendre réellement une solution ; inversement, lire le corrigé d’un exercice sans s’être réellement engagé dans la recherche ne procure le plus souvent aucun bénéﬁce. Espérons que l’étude de ce document vous procurera plaisir et proﬁt ! 2 Sommaire I. OUTILS ET TECHNIQUES DE BASE 5 1 Rédaction, modes de raisonnement 6 1.1 Rédaction, quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Vocabulaire et notations utilisés . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Quantiﬁcateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Le raisonnement par récurrence (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Le raisonnement par récurrence (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Le raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Le raisonnement par analyse-synthèse . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Calculs algébriques 19 2.1 Généralités et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Le symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Sommes télescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Le symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Factorielle d’un entier naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Trigonométrie et nombres complexes 31 3.1 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Inégalités, trinôme du second degré réel 38 4.1 Inégalités et inéquations : méthodes élémentaires . . . . . . . . . 38 4.2 Le trinôme du second degré réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5 Dérivation 42 5.1 Calcul des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.2 Tangente à un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.3 Applications de la dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.3.1 Étude de fonctions, résolution d’équations . . . . . . . . . 44 5.3.2 Démonstration d’inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6 Calcul des limites 51 6.1 Introduction et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.2 Utilisation de taux d’accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.3 Mise en facteur du terme prépondérant . . . . . . . . . . . . . . . 52 7 Intégration 55 7.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7.2 L’intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 8 Réponses ou indications 61 II. APPROFONDISSEMENTS 78 3 1 Nombres complexes, deuxième épisode 79 1.1 Technique de l’arc moitié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1.2 Calcul de sommes trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 1.3 Racines de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 1.4 La formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 1.5 L’inégalité triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2 Polynômes 91 2.1 uploads/Philosophie/ exos-terminalegrignard.pdf