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La théorie des ensembles selon Bourbaki Nicolas Raimbaud. 03 mars 2010 1 Qu’est

La théorie des ensembles selon Bourbaki Nicolas Raimbaud. 03 mars 2010 1 Qu’est-ce qu’une théorie ? Théorie : Ensemble de signes écrits et de règles d’écritures, plus un certains nombres d’axiomes et de schémas axiomatiques. Certains symboles sont des symboles de liaison, qui ont un poids : c’est-à-dire que pour avoir du sens, ils doivent être suivis d’un nombre ﬁxé d’assemblages. L’idée de la Théorie des ensembles de Bourbaki est assez simple : si vous êtes capable de coder votre pensée de façon scripte, alors vous pouvez faire toutes les mathématiques. On commence donc par apprendre à “écrire” les mathématiques de façon formelle. Les notions qui suivent sont à comprendre relativement à une théorie ﬁxée à l’avance, c’est à dire qu’on s’est ﬁxé un alphabet de lettres et de symboles de liaison, ces symboles ayant tous un poids et une espèce (1 ou 2, voir plus loin) également ﬁxés à l’avance. Assemblage : Suite ﬁnie de signes de la théorie, a priori sans queue ni tête. Exemple : x∃∧¬A∀Cy Assemblage bien formé : Assemblage pour lequel les règles d’écriture ont été respectées (autrement dit chaque symbole de poids p a exactement p arguments). Exemple : (∀y)(∃x)((¬A) ∧C) Notons au passage que l’écriture formelle se fait au sens des EAPF, il n’y a donc pas besoin de parenthèses (bien que dans la pratique ce soit le cas, on n’est pas des machines. . . ). L’écriture formelle de l’exemple précédent est en fait ∀y∃x ∧¬AC. Le symbole τ : Il s’agit d’un symbole formel contenu par toute théorie, et représentant le prototype formel d’un objet qui satisfait une relation. Si un assemblage A contient la lettre x, on note τx(A) l’assemblage obtenu en eﬀaçant chaque occurence de x et en la remplaçant par un trou □, puis en reliant ces trous à un symbole τ placé à la gauche de l’assemblage. Exemple : τx (x ∈E) ∧(x / ∈F) ≡τ∧∈□E / ∈□F est le prototype formel de l’ensemble E \ F. À présent que l’on sait écrire, il s’agit d’apprendre à raisonner. C’est au programme du paragraphe suivant, pour le moment on va se contenter d’apprendre à reconnaître les assemblages qui ont un sens mathématique, à savoir les termes (objets) et les relations (entre objets). Assemblages de première et seconde espèce : par déﬁnition, les assemblages de première espèce sont les assemblages (disons bien formés) qui sont soit une lettre seule, soit un assemblage commençant par le symbole τ. Les autres assemblages sont dits de seconde espèce. Construction formative : Il s’agit d’une suite ﬁnie d’assemblages (An)N n=1 (nécessairement bien formés) qui satisfont chacun l’une des conditions suivantes : (*) An est une lettre (de l’alphabet de la théorie), (*) Il existe un symbole s de poids p et d’espèce esp, et p indices i1, . . . , ip < n tels que chaque Aik soit d’espèce esp et que An soit l’assemblage sAi1 . . . Aip, (*) Il existe un p < n et une lettre x, tels que Ap soit de seconde espèce et que An soit τx(Ap). Exemple : Le symbole ∈est un symbole de poids 2 et de première espèce (il prend deux arguments, l’élément et l’ensemble, et ces arguments sont des objets). Le symbole ∧(lire “et” ou “conjonction”) est un symbole de poids 2 et de seconde espèce (il prend deux arguments qui sont des assertions), le symbole ¬ (lire “non”) est de poids 1 et d’espèce 2. La suite d’assemblages présentée ci-après est donc une construction formative : (*) x (*) E 1 (*) ∈xE (*) F (*) ∈xF (*) ¬ ∈xF (*) ∧∈xE¬ ∈xF (*) τ∧∈□E¬ ∈□F Il s’agit en fait de la construction formative déﬁnissant l’objet E \ F. Termes et relations : Un terme de la théorie est le nom donné à tout assemblage de première espèce qui apparaît dans une construction formative. Une relation de la théorie est un assemblage de seconde espèce qui apparaît dans une construction formative. 2 La notion de VRAI Pour l’instant nous n’avons appris qu’à manipuler l’alphabet d’une théorie, mais une théorie ne contient pas seulement un alphabet et des lois d’écriture, elle contient surtout des axiomes. Il se présentent de deux façons : d’une part les axiomes explicites, comme par exemple “(A4) : Il existe un ensemble inﬁni”, et d’autre part les schémas axiomatiques, ce sont des machines à fabriquer des axiomes à partir d’assemblages, comme par exemple “(SL2) : Si P et Q sont des relations, alors P = ⇒(P ∨Q) est un théorème.”. Théorème : il s’agit du nom générique donné aux relations VRAIES d’une théorie (voir plus loin). Relation FAUSSE : toute relation R telle que ¬R est un théorème (nécessite le symbole ¬ dans la théorie). Mais que signiﬁe être VRAI dans une théorie ? Il va de soi que les axiomes sont considérés comme VRAIS. Et bien évidemment, on veut que tout ce qui s’en déduit de façon logique le soit également. L’ennui c’est que pour celà il nous manque deux choses : la notion de logique, et une méthode de “déduction”. De nos jours, une théorie très avancée s’occupe de déﬁnir ces notions, la théorie de la démonstration. En particulier, il y a diverses notions de logique couramment utilisées, par exemple la logique classique ou la logique intuitionnelle, mais on ne se préoccupera que de la logique classique (que les Brouweriens sortent de la salle). Théorie logique : On appelle théorie logique toute théorie contenant les symboles de seconde espèce ¬ (“non”) et ∨(“ou”), respectivement de poids 1 et 2, et qui inclut les schémas axiomatiques suivants : (SL1) Pour toute relation R, (R ∨R) = ⇒R est un théorème. (SL2) Si P et Q sont des relations, alors P = ⇒(P ∨Q) est un théorème. (SL3) Pour toutes relations P et Q, (P ∨Q) = ⇒(Q ∨P) est un théorème. (SL4) Étant données trois relations P, Q et R, (P = ⇒Q) = ⇒ (P ∨R) = ⇒(Q ∨R) . Le symbole = ⇒est le raccourci usuel de l’assemblage ∨¬, i.e. P = ⇒Q signiﬁe “(non P) ou Q”. Toutes les relations logiques usuelles se déduisent de ces axiomes. Notons que (SL1) et (SL2) entraînent que le principe du tiers exclu est VRAI. Conjonction : on déﬁnit la conjonction de deux relations P et Q comme l’assemblage ¬ ∨¬P¬Q, on le note ∧PQ ou P ∧Q, et on lit “P et Q”. Équivalence : étant données deux relations P et Q, on déﬁnit la relation “P est équivalente à Q”, notée P ⇐ ⇒Q, par (P = ⇒Q) ∧(Q = ⇒P). A présent on est capable de raisonner formellement comme on le fait habituellement. Il faut encore déﬁnir la notion de démonstration formelle aﬁn de propager la VÉRITÉ depuis les axiomes à tout plein d’autres relations. Démonstration : Une démonstration, ou plus exactement un texte démonstratif est constitué de deux parties distinctes : la démonstration elle-même, qui est une suite de relations (Ri)L i=1 de la théorie, ainsi qu’un texte d’appui auxiliaire, qui est une construction formative (An)N n=1 dans laquelle on va piocher des termes et des relations. On demande aux relations Ri de satisfaire chacune l’une des propriétés suivantes : (*) Ri est un axiome explicite de la théorie. (*) On peut trouver An1, . . . , Ank des assemblages du texte d’appui tels que Ri résulte de l’application d’un schéma axiomatique de la théorie sur les assemblages An1, . . . , Ank. (*) Il existe des indices j, k < i tels que Rk soit l’assemblage Rj = ⇒Ri. Relation VRAIE : toute relation apparaissant dans une démonstration. Théorie contradictoire : une théorie qui contient une relation simultanément VRAIE et FAUSSE. On peut montrer qu’alors toute relation de la théorie est à la fois VRAIE et FAUSSE. 2 Dans les théories de la logique classique, on peut démontrer que les types de démonstrations suivants sont bien des démonstrations au sens formel : Preuve par hypothèse auxiliaire : On se place dans une théorie T , on considère une relation A de cette théorie et on déﬁnit la théorie T ′ = T ∪A en adjoignant A aux axiomes explicites de T . Si une relation R est VRAIE dans T ′, alors A = ⇒R est VRAIE dans T . C’est la méthode de preuve la plus couramment utilisée. On veut montrer une certaine implication, on suppose l’hypothèse de départ, on fait un raisonnement logique pour aboutir à la conclusion, et on en déduit que l’implication est vraie. Preuve par réduction à l’absurde : Si la théorie T ∪(¬A) est contradictoire, alors A est un théorème de la théorie T . Preuve par disjonction de cas : Si A ∨B, A = ⇒C et B = ⇒C sont VRAIES, alors C l’est également. 3 Les théories des ensembles Il nous reste un bout de chemin à parcourir avant de parvenir aux ensembles : il nous manque encore les quantiﬁcateurs, l’égalité, l’appartenance et les axiomes qui vont avec. Substitution : uploads/Philosophie/ semapp-bourbaki.pdf