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I.R.E.M. de Toulouse Pour un suivi en arithmétique de la Troisième à la Termina

I.R.E.M. de Toulouse Pour un suivi en arithmétique de la Troisième à la Terminale Groupe Second Cycle : Bernard Destainville, Sophie Dupuy - Touzet, Marc Ducret, Jean-Marc Gibert, Alain Viet, Bernard Vinter. Sommaire PRÉLIMINAIRE...................................................................................................1 Arithmétique, maths hermétiques ?.....................................................................1 INTRODUCTION.................................................................................................3 Partie 1 - Constats ..............................................................................................5 1. Analyse de tests..............................................................................................6 A. Premier test : à propos du PGCD....................................................... 6 B. Second test : raisonnements en arithmétique .................................. 13 2. Erreurs classiques.........................................................................................15 A. Erreurs liées à un problème de langage........................................... 15 B. Erreurs liées au statut des nombres................................................. 16 C. Erreurs dues à une méconnaissance de l’enjeu............................... 16 D. Autres erreurs .................................................................................. 17 3. Pratique arithmétique ....................................................................................18 A. Les « matériaux »............................................................................. 18 B. Les techniques ................................................................................. 19 C. La logique......................................................................................... 22 D. Apprendre à réfléchir........................................................................ 24 Partie 2 - Les raisonnements en arithmétique...................................................27 1. Un problème de sensibilisation .....................................................................27 2. La diversité des formes de raisonnement .....................................................29 A. Raisonnement exhaustif................................................................... 29 B. Raisonnement par disjonction des cas............................................. 31 C. Raisonnement par récurrence.......................................................... 34 D. Raisonnement par l’absurde ............................................................ 35 E. Raisonnement par contraposition..................................................... 37 F. Raisonnement par utilisation d’un contre-exemple et recherches complémentaires....................................................................................... 37 Partie 3 - Des algorithmes en arithmétique .......................................................41 1. Ranger n nombres dans l’ordre croissant .....................................................42 2. Comparer des nombres ................................................................................43 A. Comparer deux entiers naturels en numération décimale ................ 43 B. Comparer deux nombres en écriture fractionnaire ........................... 45 3. Tester si un nombre est premier ...................................................................46 4. Des algorithmes du PGCD de deux entiers naturels et leurs applications ....47 A. Des algorithmes ............................................................................... 47 B. Trois applications classiques de l’algorithme d’Euclide .................... 50 Partie 4 - Des problèmes pour améliorer la situation ........................................51 1. Calculs simples .............................................................................................51 A. Calculs sur les fractions, retombées algébriques. ............................ 51 B. Réflexion sur la notion de diviseur et de multiple. ............................ 52 2. Problèmes liés à la numération décimale......................................................52 3. Parité.............................................................................................................54 A. A propos de la parité de deux entiers consécutifs............................ 54 B. D’autres exercices à propos de la parité .......................................... 56 Irem de Toulouse 4. Division euclidienne...................................................................................... 57 5. Divisibilité - Approche du théorème de Gauss.............................................. 58 6. Apprendre à reconnaître une situation arithmétique..................................... 60 7. Triplets pythagoriciens.................................................................................. 62 8. À propos de l’équation diophantienne ax + by = c...................................... 63 CONCLUSION.................................................................................................. 69 Bibliographie..................................................................................................... 71 Annexes............................................................................................................ 73 1 PRÉLIMINAIRE ARITHMETIQUE, MATHS HERMETIQUES ? On associe parfois l’arithmétique à la cryptographie et son domaine d’expression se réduit souvent à quelques problèmes « réalistes » de carreleur ou autres métiers d’assemblage. Cela ne paraît ni vraiment pertinent ni très stimulant. Par ailleurs, quel enseignant ne constate pas tous les jours les difficultés de ses élèves à maîtriser des fondamentaux comme le calcul algébrique, la rigueur des raisonnements, pourtant nécessaires à la structuration des savoirs et savoir-faire ? Or nous pensons que l’arithmétique, loin d’être un art hermétique, pourrait par la diversité des problèmes qu’elle propose, prolonger l’activité sur les nombres, engagée en primaire, et ancrer solidement chez l’élève les règles de calcul dont la connaissance est devenue trop souvent approximative peut-être par un usage précoce et généralisé de machines auxquelles les élèves délèguent de façon abusive l’intelligence des calculs. Alors, quand ces dernières ne sont plus utilisables, comme pour un calcul littéral, l’élève, révélant ses carences, commet de nombreuses erreurs, décourageantes et nuisibles à son travail de fond. Mais nous croyons aussi que l’arithmétique a d’autres vertus. En effet, il est possible dans ce champ d’aborder de façon relativement empirique, et ludique, les principales méthodes de raisonnement telles que le maniement du contre-exemple, la disjonction des cas, la récurrence, le raisonnement par l’absurde et contraposition ou encore le raisonnement par équivalences. Bien évidemment, cela n’est pas le privilège de l’arithmétique. Il n’en demeure pas moins que l’arithmétique ouvre ces possibilités et qu’elle apparaît dans une certaine continuité des acquisitions du primaire, où un travail important est fait sur les nombres, jetant les bases du calcul. La place historique qu’elle occupe dans la construction des mathématiques peut être un motif supplémentaire de lui donner un rôle plus conducteur dans l’enseignement de notre discipline et l’acquisition par l’élève de certains fondamentaux. Mais pour le stimuler, il faut aussi permettre à l’élève de répondre aux questions soulevées par ses recherches et d’aborder une grande diversité de problèmes. Pourquoi alors ne pas envisager de lui donner assez tôt des notions clés : nombres premiers et premiers entre eux, PGCD et PPCM ainsi que les théorèmes de Bézout et de Gauss ? Nous voulons illustrer dans cette brochure en quoi et comment l’arithmétique peut être un outil pour aider les élèves à progresser en algèbre et en logique. 3 INTRODUCTION De la lecture des programmes du secondaire, il ressort le choix d’accorder une place non négligeable à l’enseignement de l’arithmétique. Sa forte présence dans les classes d’examen (en Troisième et en spécialité de Terminale S) traduit la volonté de valoriser son apprentissage. On remarque toutefois un suivi chaotique : dans le programme de Seconde l’arithmétique est réduite à la portion congrue ; elle disparaît du programme en Première S, revient « en force » en spécialité de Terminale S et a une place importante dans les programmes de l’option mathématiques en série L. Nous voulons à travers cette brochure mettre en évidence les lacunes de nos élèves en arithmétique, leurs conséquences, et la nécessité d’une pratique régulière afin de les combler. Nous voulons également montrer les enjeux pédagogiques de l’enseignement de l’arithmétique. Celui-ci peut être profitable à d’autres domaines des mathématiques. En particulier, l’arithmétique, à l’instar de la géométrie, est une bonne école pour apprendre à raisonner. Une pratique régulière ne peut être que bénéfique pour favoriser l’apprentissage de nombreuses démarches mathématiques, logiques et algorithmiques. La première partie de cette brochure est celle des constats. Nous commençons par analyser des tests posés dans des classes de Troisième, Seconde générale, et Première S, qui mettent en évidence la volatilité des acquis, et la précarité des méthodes utilisées par défaut par les élèves. Nous voulons ainsi montrer la nécessité d’un enseignement « continu » en arithmétique, tout au long de la scolarité. Techniques et méthodes doivent être entretenues. Plus on pratique, plus on acquiert des habitudes, de l’expérience, et plus on peut espérer développer des acquis durables et familiers. Nous analysons ensuite des erreurs « classiques », imputables à une mauvaise pratique de l’arithmétique. Enfin, nous présentons et illustrons de quelques exemples, les connaissances minimales en arithmétique que les élèves doivent acquérir et savoir réinvestir. La seconde partie concerne l’ensemble des raisonnements que l’arithmétique permet de mettre en œuvre. Pour un suivi en arithmétique Irem de Toulouse 4 A partir d’un test exposé dans la première partie, nous explicitons différentes formes de raisonnement. Elles ne sont évidemment pas propres à l’arithmétique, mais l’arithmétique est un moyen de les mettre en œuvre. Le choix d’un mode de raisonnement n’est pas fortuit et l’apprentissage est progressif ; il sera utile dans tous les domaines des mathématiques. Les différentes formes de raisonnement doivent être pratiquées régulièrement : un exercice ne suffit pas pour apprendre ; un entraînement est nécessaire tout au long de la scolarité, pour entretenir les acquis. Nous proposons dans cette seconde partie des exercices d’arithmétique qui illustrent chaque type de raisonnement. Ils sont délibérément simples, afin que d’autres difficultés mathématiques ne masquent pas le raisonnement visé. La troisième partie est consacrée aux algorithmes. Sans parler de la programmation (programmer, même sur une calculatrice, commence, en général, par la conception d’un algorithme), les élèves sont, consciemment ou non, confrontés fréquemment à l’utilisation d’un algorithme. Déjà avec les quatre opérations en numération décimale, chaque technique correspond à un algorithme. Les élèves devraient les connaître, même si la calculatrice leur fournit la réponse ! Aborder un problème d’un point de vue algorithmique est une démarche intellectuelle souvent implicite. On peut l’expliciter à l’aide d’exercices d’arithmétique simples. Nous en proposons dans cette troisième partie qui nécessitent la réalisation d’un algorithme, plus ou moins raffiné, pouvant aller jusqu’à une programmation. La quatrième partie est un recueil d’exercices variés. Si elle est bien présentée, l’arithmétique est un bon support pour éveiller la réflexion et développer la rigueur mathématique à tous les niveaux. Les exercices de cette quatrième partie, abordables pour une majorité d’entre eux dès la Troisième, permettent d’assurer un suivi que nous jugeons indispensable, en exploitant les richesses de l’arithmétique. Constats 5 PARTIE 1 - CONSTATS L’observation des programmes de la Sixième à la Terminale laisse perplexe quant au suivi en arithmétique1. Cette première partie présente un certain nombre de constats sur les compétences de nos élèves en arithmétique à différents moments de leur cursus, et propose un inventaire de pratiques en arithmétique qu’ils devraient entretenir tout au long de leur scolarité. Dans un premier paragraphe, nous présentons et analysons les résultas de tests. Le premier test a été posé à des classes de Troisième et de Seconde. Il s’intéresse à la notion de PGCD de deux nombres, et à son calcul. Les besoins évoluent au cours de la scolarité, et il faut permettre une ouverture vers d’autres niveaux de difficultés. Ainsi, l’algorithme d’Euclide ou l’algorithme de différence pour la recherche du PGCD uploads/Philosophie/ pour-un-suivi-en-arithmitique.pdf