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ENSAI Première année IES Statistique 2 : Probabilités générales 2008-2009 Proba

ENSAI Première année IES Statistique 2 : Probabilités générales 2008-2009 Probabilités générales Magalie Fromont Références : – Calcul des probabilités, D. Foata et A. Fuchs, – Probability and random processes, G. Grimmett and D. Stirzaker, – Cours et exercices de probabilités appliquées, M. Lefebvre, – Probabilités, analyse des données et statistique, G. Saporta, – Théorie des probabilités en vue des applications statistiques, P. Tassi et S. Legait, – Cours de probabilités, A. Monfort. 1 Introduction - rappels Introduction. Les probabilités à l’ENSAI, pourquoi ? 1.1 Déﬁnitions - Notations (rappels) – univers des possibles ou ensemble fondamental Ω, épreuves ω ∈Ω, tribu A sur Ω, événements, mesure de probabilité P sur (Ω, A), probabilité d’un événement A de A P(A), – expérience aléatoire modélisée par un espace de probabilité (Ω, A, P) (pas nécessairement unique, dépend des hypothèses faites sur l’expérience, ou permet d’en poser). 1.2 Exemples Les grands classiques du pile ou face, du lancé de dé, des boules dans une urne... Expériences aléatoires plus complexes : sondages, études de ﬁabilité, durées de vie, ... ⇒Nécessité d’introduire la notion de variable aléatoire. 2 Variables aléatoires réelles On considère une expérience aléatoire modélisée par un espace de probabilité (Ω, A, P). 2.1 Déﬁnitions - premiers exemples Déﬁnition 1 (Variable aléatoire réelle) On appelle variable aléatoire réelle (v.a.r.) toute application X : (Ω, A, P) →(R, B(R)) telle que pour tout borélien B de R (B ∈B(R)), l’ensemble X−1(B) = {ω ∈Ω, X(ω) ∈ B} appartient à A. Propriétés immédiates Une variable aléatoire réelle est une application (Ω, A, P) →(R, B(R)) telle que pour tout réel b, X−1(]−∞, b]) ∈A. Les propriétés algébriques usuelles ainsi que la composition par une fonction réelle mesurable conservent la notion de variable aléatoire (ainsi, si X et Y sont deux variables aléatoires réelles, λ un nombre réel, λX, X + Y , XY , |X|, √ X, 1/X, Xn, eX... sont des variables aléatoires réelles). Notation. Si X : (Ω, A, P) →(R, B(R)) est une variable aléatoire réelle, l’ensemble X−1(B) = {ω ∈Ω, X(ω) ∈ B} est un événement généralement noté {X ∈B} et dont la probabilité notée P(X ∈B) se lit "probabilité que X soit dans B". L’ensemble B peut prendre diverses formes et on écrit par exemple, P(X = b) au lieu de P(X ∈{b}), P(X ≤b) au lieu de P(X ∈] −∞, b])... Ces probabilités sont lues "probabilité que X soit égal à b", "probabilité que X soit inférieur ou égal à b"... Si X1, X2 : (Ω, A, P) →(R, B(R)) sont deux variables aléatoires réelles, la probabilité P(X−1 1 (]−∞, b1])∩X−1 2 (]− ∞, b2])) est notée P(X1 ≤b1, X2 ≤b2) et lue "probabilité que X1 soit inférieur ou égal à b1 et que X2 soit inférieur ou égal à b2". Exemples. Exemples liés aux expériences aléatoires ci-dessus. Exemple de l’indicatrice d’un événement. ENSAI Première année IES Statistique 2 : Probabilités générales 2008-2009 2.2 Loi d’une variable aléatoire réelle La notion de variable aléatoire réelle permet de probabiliser l’espace mesurable (R, B(R)). On a en eﬀet la propo- sition suivante. Proposition 1 Soit X : (Ω, A, P) →(R, B(R)) une variable aléatoire réelle. Alors l’application PX : B(R) →[0, 1] déﬁnie pour tout borélien B de R par PX(B) = P(X−1(B)), est une mesure de probabilité sur (R, B(R)). Déﬁnition 2 (Loi d’une v.a.r.) La mesure de probabilité PX ainsi déﬁnie est appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X. On dit encore que X suit la loi de probabilité PX, et on peut noter X ∼PX. Remarques importantes. L’espace (R, B(R), PX) est un nouvel espace de probabilité. De plus, pour toute mesure de probabilité Q sur (R, B(R)), il existe toujours un espace de probabilité (Ω, A, P) et une variable aléatoire réelle X : (Ω, A, P) →(R, B(R)) telle que PX = Q (il suﬃt de prendre (Ω, A, P) = (R, B(R), Q) et pour X l’application identique de Ω). On peut ainsi parler de variable aléatoire X ayant une loi de probabilité PX sans spéciﬁer l’espace de probabilité (Ω, A, P) sur lequel X est déﬁnie à la base. En revanche, il est clair que X n’est pas l’unique v.a.r. telle que PX = Q. Autrement dit, une v.a.r. n’est pas déterminée par sa loi... 2.3 Fonction de répartition - fonction de masse - fonction de densité 2.3.1 La fonction de répartition d’une v.a.r. Déﬁnition 3 (Fonction de répartition d’une v.a.r.) Si X : (Ω, A, P) →(R, B(R)) est une variable aléatoire réelle on appelle fonction de répartition de X la fonction FX : R →[0, 1] déﬁnie pour tout x ∈R par FX(x) = PX(] −∞, x]) = P(X ≤x). Proposition 2 La fonction de répartition d’une v.a.r. X satisfait les propriétés suivantes : 1. Pour tout x ∈R, 0 ≤FX(x) ≤1. 2. FX est une fonction croissante, continue à droite en tout point x de R. 3. limx→−∞FX(x) = 0, limx→+∞FX(x) = 1. La preuve est laissée en exercice (pas diﬃcile). Proposition 3 Pour toute fonction réelle F d’une variable réelle vériﬁant les propriétés 1., 2., 3. de la Proposition ??, il existe une unique loi de probabilité Q sur (R, B(R)) telle que F(x) = Q(] −∞, x]) pour tout réel x. Conséquence : La loi d’une v.a.r. est entièrement déterminée par sa fonction de répartition. Une preuve de l’existence. (Importante pour la simulation de certaines v.a.r.) On va montrer que si F est une fonction réelle d’une variable réelle vériﬁant les propriétés 1., 2., 3. de la Proposition ??, il existe une variable aléatoire X telle que F = FX. On considère U une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1], c’est-à-dire telle que pour tout [a, b] ⊂[0, 1], P(U ∈[a, b]) = b −a. Cas particulier où F est continue et strictement croissante. Dans ce cas, la fonction F est une bijection de R dans [0, 1], et on peut considérer sa réciproque F −1. Si l’on pose X = F −1(U), alors pour tout réel x, FX(x) = P(X ≤x) = P(F −1(U) ≤x) = P(U ≤F(x)) = F(x). ENSAI Première année IES Statistique 2 : Probabilités générales 2008-2009 Cas général. On déﬁnit l’inverse généralisée de F. On pose ainsi pour tout u ∈[0, 1], F −1(u) = Inf{x ∈R, F(x) ≥ u}, et on vériﬁe que pour u ∈[0, 1], F −1(u) ≤x ⇔F(x) ≥u. Soit A = {x ∈R, F(x) ≥u}. Si x0 ∈A, et x1 > x0, alors x1 ∈A. Par conséquent, A est de la forme ]a, +∞[ ou [a, +∞[. Mais si on prend une suite (xn)n∈N d’éléments de A qui tend en décroissant vers a, comme F(xn) ≥u et F est continue à droite, on a F(a) ≥u. Donc a ∈A, et A est de la forme [a, +∞[. F −1(u) est un minimum et A = [F −1(u), +∞[. On reprend la ﬁn de la preuve précédente pour conclure. 2.3.2 Fonction de masse et classiﬁcation des v.a.r. Déﬁnition 4 (Fonction de masse d’une v.a.r.) Si X : (Ω, A, P) →(R, B(R)) est une variable aléatoire réelle, la fonction πX : x ∈R 7→P(X = x) est appelée la fonction de masse de X. On montre à l’aide des propriétés de base des mesures de probabilité que pour tout x ∈R, πX(x) = FX(x)−FX(x−). D’où la : Proposition 4 Si X est une v.a.r., alors l’ensemble (noté DX) des points de discontinuité de sa fonction de répartition FX vériﬁe DX = {x, πX(x) > 0}. De plus, cet ensemble est ﬁni ou dénombrable. Déﬁnition 5 (loi diﬀuse, loi discrète) Si DX = ∅, on dit que la loi de X est diﬀuse. Si P(X ∈DX) = P x∈DX πX(x) = 1, on dit que la loi de X est discrète (et que son support est SX = DX). Il est facile de montrer que si a, b ∈R, P(X ∈]a, b]) = FX(b) −FX(a), P(X ∈[a, b]) = FX(b) −FX(a) + πX(a), P(X ∈]a, b[) = FX(b) −πX(b) −FX(a), P(X ∈[a, b[) = FX(b) −πX(b) −FX(a) + πX(a). Donc si la loi de X est diﬀuse, P(X ∈]a, b]) = P(X ∈]a, b[) = P(X ∈[a, b[) = P(X ∈[a, b]) = FX(b) −FX(a). Proposition 5 Il existe des v.a.r. dont la loi de probabilité Q n’est ni diﬀuse ni discrète. On peut alors montrer qu’il existe α ∈]0, 1[, Q1 une loi discrète, Q2 une loi diﬀuse tels que Q = αQ1 + (1 −α)Q2. La loi Q est dite mixte. Pour la preuve, on renvoie au polycopié de Michel Carbon. Les v.a.r. de lois discrètes ont été traitées en détail dans le cours de Statistique 1. On s’intéresse ici un peu plus particulièrement à des v.a.r de lois diﬀuses particulières : les v.a.r. de lois absolument continues (les autres ont des lois dites singulières.) 2.3.3 Loi absolument continue - densité Déﬁnition 6 (V.a.r de loi absolument continue) La loi de probabilité PX d’une v.a.r. est dite absolument continue si elle absolument continue par uploads/Philosophie/ probasensai-magalie.pdf