Feuille d'exercices n◦1 Logique - Ensembles EN1D2 Lycée Gustave Eiel. Exercice

Feuille d'exercices n◦1 Logique - Ensembles EN1D2 Lycée Gustave Eiel. Exercice 1. ˇ “ Soit f une application de R dans R. Traduire à l'aide de quanti cateurs les propositions suivantes ainsi que leur négation. 1) f est majorée sur R, 2) f ne s'annule jamais, 3) f n'est pas la fonction nulle, 4) f atteint toutes les valeurs de N, 5) f n'est pas impaire, 6) f est à valeurs positives, 7) f est constante sur un intervalle I, 8) f ne prend jamais deux fois la même valeur sur l'intervalle I. 9) f est croissante sur un intervalle I. 10) f s'annule une fois exactement sur l'inter- valle I, Exercice 2. Dire si les a rmations suivantes sont vraies ou fausses 1) Je sais que ((P1 ∧P2) ⇒P3), j'en conclus P1 ⇒P3. 2) Je sais que ((P1 ∨P2) ⇒P3), j'en conclus P1 ⇒P3. 3) Je sais que (P1 ⇒P3), j'en conclus (P1 ∨P2) ⇒P3. 4) Je sais que (P1 ⇒P3), j'en conclus (P1 ∧P2) ⇒P3. 5) Je sais que ((P1 ∨P2) ⇒P3), j'en conclus (P1 ⇒P3) ∧(P2 ⇒P3). 6) Je sais que ((P1 ∨P2) ⇒P3), j'en conclus que si P1 est vrai alors (P2 ⇒P3). 7) Je sais que ((P1 ∧P2) ⇒P3), j'en conclus que P1 ⇒(P2 ⇒P3). Exercice 3. Compléter avec "il faut", "il su t", ou "il faut et il su t" : 1) Soit n appartenant à Z. Pour qu'il existe m appartenant à Z tel que m2 = n, ?. que n soit positif ou nul. 2) Soit x appartenant à R. Pour qu'il existe t appartenant à R tel que t2 = x, ?. que x soit positif ou nul. 3) Pour qu'un quadrilatère soit un carré, ?. que ses diagonales soient perpendiculaires. 4) Soit f une fonction dérivable sur R, pour que f soit strictement croissante sur R, ?. que f ′(x) > 0 pour tout x appartenant à R. Exercice 4. On suppose que l'énoncé suivant est vrai : "S'il pleut le matin, je prends mon parapluie". Les argu- mentations ci-dessous sont-elles correctes ? i. "J'ai pris mon parapluie, donc il a plu ce matin." ii. "Je n'ai pas pris mon parapluie, donc il ne pleuvait pas ce matin." iii. "Il a fait beau ce matin, donc je n'ai pas pris mon parapluie." Exercice 5. Sur une île, on trouve deux sortes de personnes : les sincères, qui disent toujours la vérité et les menteurs, qui mentent toujours. 1) Alice et Bob sont deux habitants de l'île. Alice déclare : "L'un d'entre nous deux au moins est un menteur." Montrer par l'absurde qu'Alice est sincère. Qu'en est-il de Bob ? 2) Chloé et Denis sont deux autres habitants de l'île. Chloé déclare : "Je suis menteuse ou Denis est sincère." Montrer que Chloé est sincère. Qu'en est-il de Denis ? 1 Thierry Sageaux EN1D2 - Lycée Gustave Eiel Logique - Ensembles 3) Gaspard, Melchior et Balthazar sont trois autres habitants de l'île. Gaspard déclare : "Nous sommes tous menteurs." Melchior réplique : "Un et un seul d'entre nous est sincère." Montrer que Gaspard est menteur, puis que Melchior est sincère. Qu'en est-il de Balthazar ? Exercice 6. On se place dans R. Parmi les a rmations suivantes, lesquelles sont fausses ? Pour chacune des propositions fausses, proposez des modi cations permettant d'obtenir une proposi- tion vraie. 1) Si x2 ≥1, alors (x ≥1 ou x ≥−1). 2) Si x ≤y, alors x2 ≤y2. 3) Si x y ≤1, alors x ≤y. 4) Si x ≤y ≤0, alors |x| ≤|y|. Exercice 7. Parmi les propositions suivantes, quelles sont les négations de la proposition (∀x ∈E, P(x) ⇒Q(x)) ? 1) ∃x ∈E, (Q(x) ⇒P(x)), 2) ∃x ∈E, (P(x) ∧¬Q(x)), 3) ∃x / ∈E, (P(x) ∧¬Q(x)), 4) ∃x ∈E, (¬Q(x) ⇒¬P(x)), 5) ∃x / ∈E, (¬Q(x) ⇒¬P(x)). Exercice 8. On pose P et Q deux propriétés mathématiques. 1) Dresser la table de vérité de P ⇔Q. 2) Montrer que [((¬P) ⇒Q) ∧((¬P) ⇒(¬Q))] ⇒P. 3) Montrer que [(P ∨Q) ∧(P ⇒Q) ∧(Q ⇒R)] ⇒R. 4) Les assertions [(P ⇒Q) ⇒R] et [P ⇒(Q ⇒R)] sont-elles équivalentes ? Que dire de l'écriture P ⇒Q ⇒R ? 5) Montrer que P ⇒(Q ⇒R) ⇔((P ∧Q) ⇒R). Exercice 9. Soit f une fonction continue de R dans R. On considère les assertions suivantes : P = (∀x ∈R, f(x) = 0), Q = (∃x ∈R, f(x) = 0) et R = [(∀x ∈R, f(x) > 0) ∨(∀x ∈R, f(x) < 0)]. Parmi les implications suivantes, déterminez lesquelles sont exactes. 1) P ⇒Q, 2) Q ⇒P, 3) Q ⇒R, 4) ¬R ⇒Q, 5) ¬Q ⇒¬P, 6) ¬P ⇒¬R, Exercice 10. Etant donnés A, B et C trois parties de E, justi er les équivalences suivantes : 1) A ⊂B ⇔ A ∪B = B. 2) A = B ⇔ A ∩B = A ∪B. 3) A ∪B = A ∩C ⇔ B ⊂A ⊂C. 4) [(A ∪B = A ∪C) ∧(A ∩B = A ∩C)] ⇔ B = C. Exercice 11. Soient A, B, C et D quatre parties d'un ensemble E. Montrer que A ⊂B B ⊂D C ∩D = ∅ A ∪B = C ∪D      ⇒ n B = D C = ∅ 2 Thierry Sageaux EN1D2 - Lycée Gustave Eiel Logique - Ensembles Exercice 12. Soient A et B deux parties d'un ensemble E, quelles sont les a rmations vraies parmi les suivantes ? 1) P(A ∩B) ⊂P(A) ∩P(B), 2) P(A) ∩P(B) ⊂P(A ∩B), 3) P(A ∪B) ⊂P(A) ∪P(B), 4) P(A) ∪P(B) ⊂P(A ∪B), 5) P(A ∩B) ⊂P(A) ∪P(B). Exercice 13. Ecrire P(E) puis P(P(E)) lorsque E = {a, b}. Exercice 14. Dans cette citation de Woody Allen, écrire toutes les implications décrites et dénicher les non sens logiques : "To love is to suer. To avoid suering, one must not love. But then, one suers from not loving. Therefore, to love is to suer ; not to love is to suer ; to suer is to suer. To be happy is to love. To be happy, then, is to suer, but suering makes one unhappy. Therefore, to be happy, one must love or love to suer or suer from too much happiness." 3 Thierry Sageaux EN1D2 - Lycée Gustave Eiel Logique - Ensembles Solutions des exercices Exercice 1. 1) ∃M ∈R, ∀x ∈R, f(x) ≤M. Négation : ∀M ∈R, ∃x ∈R, f(x) > M. 2) ∀x ∈R, f(x) ̸= 0. Négation : ∃x ∈R, f(x) = 0. 3) ∃x ∈R, f(x) ̸= 0. Négation : ∀x ∈R, f(x) = 0. 4) ∀n ∈N, ∃x ∈R, f(x) = n. Négation : ∃n ∈N, ∀x ∈R, f(x) ̸= n. 5) Négation : ∀x ∈R, f(−x) = −f(x). ∃x ∈R, f(−x) ̸= −f(x). 6) ∀x ∈R, f(x) ≥0. Négation : ∃x ∈R, f(x) < 0. 7) ∀(x, y) ∈I2, f(x) = f(y). Négation : ∃(x, y) ∈I2, f(x) ̸= f(y). 8) ∀(x, y) ∈I2, f(x) ̸= f(y). Négation : ∃(x, y) ∈I2, f(x) = f(y). 9) ∀(a, b) ∈I2, a < b ⇒f(a) ≤f(b). Négation : On sait que P ⇒Q est équivalent à Q ∨¬P. Sa négation est alors ¬Q ∧P. Ce qui donne au nal : ∃(a, b) ∈I2, a < b et f(a) > f(b). 10) ∃x ∈R, f(x) = 0, ∀y ∈R, x ̸= y ⇒f(y) ̸= 0. Négation : (∀x ∈R, f(x) ̸= 0) ∨(∃x ̸= y, f(x) = f(y) = 0). Exercice 2. Il su t de prendre par exemple P1 : "Jouer aux échecs", P2 : "Faire de la planche à voile", P3 : "Etre invité à un super soirée chez moi". 1) Faux. 2) Vrai. 3) Faux. 4) Vrai. 5) Vrai. 6) Vrai. 7) Vrai. Exercice 3. 1) il faut 2) il faut et il su t 3) il faut 4) il su t Exercice 4. i. Faux (réciproque) ii. Vrai (contraposée) iii. Faux (contraposée de la réciproque) 4 Thierry Sageaux EN1D2 - Lycée Gustave Eiel Logique - Ensembles Exercice 5. 1) Par l'absurde donc. Si Alice ment, alors la négation de sa phrase est vraie, à savoir qu'il n'y a pas de menteur, ce qui est contradictoire avec ce que l'on vient de dire d'Alice. 2) Par l'absurde encore. Si Chloé est menteuse, alors la phrase qu'elle donne est fausse, ainsi, son contraire est vrai, i.e. Elle est sincère et Denis est menteur. Contradiction. Donc Chloé est sincère et sa phrase est correcte. Or cette dernière a rme que Denis est sincère. 3) Par l'absurde encore. On suppose que Gaspard est sincère. Alors dans ce cas, Melchior est sincère, ce qui est contradictoire. Donc Gaspard ment. Si Melchior ment, alors d'après Gaspard qui ment, seul Balthazar est sincère, ce qui contredit que Melchior ment. Donc Melchior est sincère. Et par voie de conséquence, Balthazar est sincère aussi. Exercice 6. 1) Faux. Modi cation : Si x2 ≥1, alors (x ≥1 ou x ≤−1). 2) Faux. Modi cation : Si 0 ≤x ≤y, alors x2 ≤y2. 3) Faux. Modi cation : Si x y uploads/Philosophie/ td01.pdf

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Philosophieexercice alors négation vrai. conclus
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