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Modèles probabilistes C. Lalanne, J.-B. Poline Cogmaster 2006–2007, Bloc thémat

Modèles probabilistes C. Lalanne, J.-B. Poline Cogmaster 2006–2007, Bloc thématique 4 C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 2 Objet de ce cours Introduction aux modèles probabilistes et à la théorie de l’information Notions fondamentales Applications C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 3 Organisation Cours (3h) Objet de la modélisation Rappels de probabilités Introduction à la théorie de l’information Applications TP (3h) Synthèse (1h) C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 4 Plan 1. Principes de la modélisation 2. Rappels de probabilités 3. Théorie de l’information 4. Applications C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 5 Qu’est-ce qu’un modèle ?  Une définition opérationnelle : Un modèle est une théorie orientée vers l’action qu’elle doit servir. ⇒ connotation pragmatique  Une définition mathématique : « La modélisation mathématique est le processus par lequel un problème du monde réel est interprété et représenté en termes de symboles abstraits. La description abstraite faisant intervenir une formulation mathématique est appelée Modèle Mathématique associé au problème de départ. Le dit problème, issu du réel, peut être alors traité uniquement en termes mathématiques. » (Y Cherruault. Modèles et méthodes mathématiques pour les sciences du vivant, PUF, 1998) ⇒ idée de formalisation C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 6 Principes de la modélisation (1) L’activité de modélisation consiste à dégager une version réduite de la réalité à l’aide d’un modèle abstrait/formel, qui permet la simulation (informatique) du comportement du système, la prédiction de son évolution possible, la comparaison avec des données issues de l’expérimentation C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 7 Principes de la modélisation (2) On a besoin de concepts permettant de décrire le phénomène ou système considéré relations fonctionnelles liant ces concepts ⇒Outils probabilistes pour étudier un modèle formel, en tenant compte de données réelles. Démarche ascendante : complexification croissante du modèle initial C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 8 Pourquoi modéliser ? La modélisation est utile pour mieux comprendre les systèmes complexes Cas des Sciences Cognitives : étude et compréhension des mécanismes de la pensée raisonnement langage habiletés sensorimotrices etc. C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 9 De la réalité au modèle La description d’un phénomène à l’aide d’un modèle implique une réduction de la réalité, donc une perte d’information (approximations) La modélisation permet également l’extrapolation de certaines propriétés ou la prédiction de certains comportements Dans tous les cas, il y a perte d’information et présence d’incertitude (ou bruit) C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 10 Exemples Modèle proie-prédateur Modèle de diffusion Modèle de détection du signal (observateur idéal) Modèle d’intégration de sources multiples d’informations Modèle d’évolution du marché (macro- /micro-économie) C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 11 Lien avec la démarche statistique Objectif : minimiser incertitude et erreur dans le modèle Compromis variance minimale / erreur minimale lors de l’estimation des paramètres du modèle ⇒ On préfèrera généralement, quand on a le choix, minimiser la variance C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 12 Plan 1. Principes de la modélisation 2. Rappels de probabilités 3. Théorie de l’information 4. Applications C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 13 L’approche probabiliste Permet de prendre en compte les erreurs de mesure, l’incertitude liée à la connaissance d’un phénomène suite à une observation unique, des connaissances préalables dans l’estimation des caractéristiques d’un système Nécessaire à la réalisation de simulations de systèmes complexes C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 14 Qu’est-ce que le hasard ? Multiplicité des définitions e.g. « la rencontre de deux séries causales indépendantes » C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 15 Le paradoxe de Bertrand (1) On considère un triangle équilatéral et son cercle circonscrit. On tire une corde au hasard. Quelle est la probabilité que sa longueur soit supérieure à celle du côté du triangle ? C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 16 Le paradoxe de Bertrand (2)  1ère solution : choix aléatoire du milieu de la corde Alors, P(« corde plus longue que le côté ») = P(« milieu de la corde ∈ cercle inscrit ») Soit P = !(r / 2)2 !r2 = 1 4 C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 17 Le paradoxe de Bertrand (3)  2ème solution : distance du milieu de la corde au centre du cercle On considère que le milieu de la corde est pris aléatoirement sur un rayon donné du cercle (symétrie). La corde sera plus longue que le côté du triangle inscrit si son milieu est à une distance du centre < r/2 D’où P = 1 2 C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 18 Le paradoxe de Bertrand (4)  3ème solution : choix aléatoire d’une extrémité de la corde, l’autre étant fixée Soit P0 l’extrémité choisie. Si on admet que la probabilité que l’autre extrémité P tombe sur un arc donné de la circonférence est proportionnelle à la longueur de cet arc, alors P0P est plus grand que le côté du triangle inscrit quand P se trouve sur . Donc, la longueur est le 1/3 de celle de la circonférence et P 1P 2 ! P = 1 3 P1 P P2 P0 C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 19 Le paradoxe de Bertrand (5)  En résumé :  Trois hypothèses de répartition également réalisables  Même algèbre d’événements  Trois probabilités différentes  Conclusion :  problème du « choix du hasard »  limite de la conception objectiviste  Pour en savoir plus  http://www-ensps.u-strasbg.fr/enseignants/harthong/Hist/BERTRAND.HTM  http://perso.orange.fr/therese.eveilleau/pages/paradoxe/textes/bertrand.htm  http://www-irem.univ-fcomte.fr/bulletins/067/067-article1-paradoxe-Bertrand.html  http://www.trigofacile.com/maths/curiosite/index.htm C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 20 Le concept de probabilité (1) Historique : Pascal – répartition de la mise après interruption d’un jeu de pari en 3 parties ⇒ Le gain attribué à un des 2 joueurs = moyenne pondérée des gains possibles si le jeu se termine ⇒ à partir de cette espérance mathématique, on en déduit la probabilité (de gain) Depuis l’axiomatisation de Kolmogorov (1930), on fait l’inverse (probabilité → espérance), et la probabilité est considérée comme une mesure C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 21 Le concept de probabilité (2) Définition : Si A, B, C, … sont des ensembles munis d’une fonction m dont les propriétés sont - à valeurs positives - croissante relativement à l’inclusion - additive pour la réunion de 2 ensembles disjoints alors A, B, C, … sont dits mesurables (par m). A ! B " µ(A) # µ(B) µ(A ! B) = µ(A) + µ(B) C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 22 Le concept de probabilité (3) Vocabulaire expérience aléatoire, espace des possibles (Ω), événement (élémentaire, ou sous-ensemble de Ω) expérience aléatoire Avant Après ensemble de résultats connus (Ω) 1 résultat, élément de l’ensemble C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 23 Le concept de probabilité (4) Exemple : Jeu pile/face - exp. aléa. = jeter une pièce - Ω = {P;F} - un événement = observer « pile » Jeu de dés - exp. aléa. = lancer un dé - Ω = {1;2;3;4;5;6} - un événement = observer « 1 » C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 24 Le concept de probabilité (5) Exemple : Lancer de 2 dés (réguliers) E : « la somme est > 9 » ⇒ événement réalisé par 6 résultats 1er dé 2e dé 1 2 3 4 5 6 E C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 25 Définition (1)  Définition (classique et idéale) de la probabilité : ⇒ Si tous les événements observables (Ω) sont également possibles, la probabilité d’observer A est égale au nombre de fois où A a été observé rapporté à l’ensemble des événements observés.  Exemple : jeu infini de pile ou face ou lancer de dé  P(« Face ») = 1/2  P(« {1;2} ») = 1/3 P(A) = nA n C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 26 Définition (2) Définition fréquentiste (objective) : ⇒ Lorsque l’expérience est répétée un (très) grand nombre de fois, la fréquence relative de l’événement approche une valeur constante Loi des grands nombres (faible/forte) P(A) = lim n!" nA n C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 27 Définition (3) Simulation d’un lancer de pièce (n=1000) : C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 28 Définition (4) Définition bayésienne (subjective) : La définition fréquentiste implique la possibillité de répéter indéfiniment et à l’identique l’expérience : peu réaliste ! Probabilité d’un événement = mesure du degré de croyance (personnelle) dans l’occurrence de celui-ci Rôle des connaissances a priori (‘prior distribution’ dans le processus d’inférence bayésienne en statistique) C. Lalanne & J.-B. Poline Cogmaster Bloc 4 - 22/09/06 uploads/Philosophie/ cours-b4.pdf