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Raisonnement par récurrence – Exercice corrigé © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque d

Raisonnement par récurrence – Exercice corrigé © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 1 Imageons le principe du raisonnement par récurrence par la chute d’une suite de dominos, deux à deux régulièrement espacés. Si un premier domino tombe alors le domino suivant tombera et, par propagation en chaîne, tous les dominos suivants tomberont. Le raisonnement par récurrence comporte deux phases successives : 1) prouver qu’un premier domino tombe (initialisation) 2) établir que, si le domino tombe, alors le domino suivant, c’est-à-dire le domino, tombera (hérédité) Rappel : Principe du raisonnement par récurrence Soit une proposition définie sur un intervalle de . Soit . Si : 1) la proposition est initialisée à un certain rang , c’est-à-dire si est vraie au rang 2) la proposition est héréditaire à partir du rang , c’est-à-dire si, pour tout tel que , on a l’implication Alors : 3) La proposition est vraie à partir de tout rang plus grand que . On vérifie que est vraie On suppose que est vraie On vérifie alors que est vraie On conclut que, pour tout entier naturel , est vraie 1ère étape Initialisation 2ème étape Hérédité 3ème étape Conclusion rang rang rang Raisonnement par récurrence Exercice corrigé Introduction Une proposition est un énoncé, soit vrai, soit faux. Raisonnement par récurrence – Exercice corrigé © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2 Démontrer que, pour tout entier naturel non nul, Soit la proposition définie sur par : Démontrons par récurrence que la proposition est vraie pour tout entier naturel non nul. 1) Initialisation : D’une part, on a : D’autre part, on a : Ainsi, on a : Donc est vraie, c’est-à-dire que la proposition est initialisée au rang . 2) Hérédité : Montrons que, pour tout , . C’est-à-dire supposons vraie au rang et montrons que, si est vraie, alors est vraie. Nous voulons donc aboutir à l’égalité suivante : ( ) Exercice 1 (1 question) Niveau : facile Correction de l’exercice 1 ∑ On peut simplifier l’écriture de l’expression à l’aide du symbole ∑ Raisonnement par récurrence – Exercice corrigé © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 3 Supposons vraie, c’est-à-dire supposons que : ⏟ Au rang , on a : ⏟ ⏟ ( ) ( ) Posons le discriminant du trinôme du second degré d’inconnue . . Comme , le trinôme est factorisable et admet deux racines réelles distinctes et telles que : √ √ Par ailleurs, est factorisable et on a : ( ) ⏟ ( ) Ainsi, ( ) On a donc bien vraie. On vient donc de montrer que, pour tout , si est vraie au rang , alors est vraie au rang . Autrement dit, la proposition est héréditaire. 3) Conclusion : On vient d’établir que est vraie et que, pour tout , . Autrement dit, on vient de montrer que la proposition est initialisée au rang et est héréditaire donc, d’après le principe du raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel non nul. En définitive, quel que soit , on a par conséquent : uploads/Philosophie/ raisonnement-par-recurrence-exercice-corrige-pdf.pdf