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Robert Blanché L'axiomatique QUADRIGE I PUF DU M1lMB AUTEUR AUX PRESSES UNJVBRS

Robert Blanché L'axiomatique QUADRIGE I PUF DU M1lMB AUTEUR AUX PRESSES UNJVBRSITAIRBS DE FRANCE La notion de fait psychique, essai sur les rapports du physique et du mental, 1934. Le rationalisme de Whewell, 1935. La science physique et la réalité : réalisme, politivism.e, mathé- matisme, 1948. Les attitudes idéalistes, 1949. La science actuelle et le rationalisme, 1967; 28 éd. 1973. L'épistémologie, 1972; 311 éd. 1982, Le raisonnement, 1973. L'induction scientifique et les lois naturelles, 1975. AUX i!DITIONS J. VRIN Whewell : de la construction de la science, 1938. Structures intellectuelles, essai sur l'organisation systématique des concepts, 1966. Raison et discours, défense de la logique réflexive, 1967. AUX ÉDITIONS A, COLIN Introduction à la logique contemporaine, 1957; 5e éd. 1987. La méthode expérimentale et la philosophie de la physique, 1969. ISBN 978-2-13-057688-4 ISSN 0291-0489 Dépôt légal - 1" édition : 1955 3' édition« QuadrigeJ: 2009, août ©Presses Universitaires de France, 1955 Le Philosophe 6, avenue Reille, 75014 Paris 0 mathématiques sévères, je ne vous ai pas oubliées, depuis que vos savantes leçons, plus douces que le miel, filtrèrent dans mon cœur, comme une onde rafraîchissante ... Il y avait du vague dans mon es prit, un je ne sais quoi épais comme de la fumée; mais je sus franchir religieusement les degrés qui mè nent à votre autel, et vous avez chassé ce voile obscur, comme le vent chasse le damier. Vous avez mis, à la place, une froideur exces sive, une prudence consommée et une logique implacable. LAUTRMMONT, Les chants de Maldoror. SOMMAIRE CHAPITRE PREMIER. - Les défauts de l'appareil eucli- dien . . . . . . . . . . • . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • 9 § l. Introduction générale, 9. - § 2. Les pos tulats, 12. - § 3. Les figuces, 15. - § 4. Les axio mes, 17. - §s. Les définitions, 20. - § 6. Démons tration et c\sfinition, 23. CHAPITRE II. - Les premières axiomatiques . . . . . . . 29 § 7. Naissance de l'axiomatique, 29. - § 8. Anté riorité d'un système, 31. - § 9. Indéfinissables et indémontrables. Systèmes équivalents, 34. - § 10. Les définitions par postulats, 3 7. - § l I. Deux exemples d'axiomatique, 41. - § 12. Modèles. Iso morphisme, 45. - § 13. Consistance et complétude. Décidabilité, 48. - § 14. Indépendance. Econo mie, 51. - § 15. Systèmes affaiblis ou saturés, 53. CHAPITRE III. - Les axiomatiques formalisées • . . . . 55 § 16. Symbolisation, 55. - § 17. Formalisa tion, 57. - § 18. Du raisonnement au calcul, 60. - § 19. La métamathématique, 63. - § 20. Limite aux démonstrations de non-contradiction, 66. - § 21. L'axiomatisation de la logique, 69. - § 22. La métalogique, 73. CHA:ITRE IV. - La méthode axiomatique dans la science • . . . . . . • . . . . . • • .. • . . . . . • • . . • • • • . . • • • • • 7 5 § 23. Avantages de la méthode axiomatique, 75. - § 24. L'axiomatisation des mathématiques, 79. - § 25. L'axiomatisation dans les autres scien- ces, 83. - § 26. Limites de la méthode axioma tique, 86. CHyPITRE V. - Portée philosophique de l' axioma- tique . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . 92 § 27. Philosophie des mathématiques, 92. - § 28 . Philosophie de la science, 98. - 29. Philo sophie de la connaissance, 104. CHAPITRE PREMIER LES DÉFAUTS DE L'APPAREIL EUCLIDIEN § I. INTRODUCTION GHNÉRALB. - La géométrie clas sique, sous la forme que lui a donnée Euclide dans ses Éléments, a.longtemps passé pour un modèle insurpas sable, et même diffi cilement égalable, de théorie déductive. Les termes propres à la théorie n'y sont jamais introduits sans être définis ; les propositions n'y sont jamais avan cées sans être démontrées, à l'exception d'un petit nombre d'entre elles qui sont énoncées d'abord à titre de principes : la démonstration ne peut en effet remonter à l'infini et doit bien reposer sur quelques propositions premières, mais on a pris soin de les choisir telles qu'aucun doute ne subsiste à leur égard dans un esprit sain. Bien que tout ce qu'on affirme soit empiriquement vrai, l'expérience n'est pas invoquée comme justification: le géomètre ne procède que par voie démonstrative, il ne fonde ses preuves que sur ce qui a été antérieurement établi, en se conformant aux seules lois de la logique. Chaque théorème se trouve ainsi relié, par un rapport nécessaire, aux propositions dont il se déduit comme conséquence, de sorte que, de proche en proche, se IO L'AXIOMATIQUE constitue un réseau serré où, directement ou indirec tement, toutes le propositions communiquent entre elles. L'ensemble forme un système dont on ne pourrait distraire ou modifier une partie sans compromettre le tout. Ainsi, « les Grecs ont raisonné avec toute la justesse possible dans les mathématiques, et ils ont laissé au genre humain des modèles de l'art de démontrer » (1). Avec eux, la géométrie a cessé d'être un recueil de recettes pratiques ou, au mieux, d'énoncés empiriques, pour devenir une science rationnelle. D'où le rôle pédagogique privilégié qu'on n'a, depuis, cessé de lui reconnaître. Si on la fait étudier aux enfants, c'est moins pour ensei gner des vérités que pour discipliner l'esprit, sa pratique étant censée donner et développer l'habitude du raison nement rigoureux. Comme l'écrit L. Brunschvicg (2) : " Euclide, pour les nombreuses générations qui se sont nourries de sa substance, a été moins peut-être un pro fesseur de géométrie qu'un professeur de logique. » Et l'expression more geometrico en est venue à signifier more logico. Pourtant, il est apparu de mieux en mieux que, si la géométrie euclidienne était longtemps demeurée l'exemple le plus accompli qu'on pût alléguer d'une théorie déductive, l'appareil logique qui la soutenait n'était point irréprochable. De ces imperfections, cer taines avaient été remarquées très tôt, mais ce n'est guère qu'au x1x• siècle qu'on a mesuré l'écart qui subsis tait entre l'exposé traditionnel et une théorie déductive idéale. Un des traits qui marquent le mieux les mathé matiques depuis cette époque, c'est en effet un accrois- (1) LEIBNIZ, Nouveaux essais, IV, II, 13. (2) Les ltapes de la philosophie mathlmatique, chap. VI, § 49. LES DÉFAUTS DE L'APPAREIL EUCLIDIEN II sement soudain du souci de rigueur logique. Examinée ainsi avec une sévérité nouvelle, la déduction géométrique classique se révélait fautive sur bien des points. On s'est efforcé de la rectifier, et la présentation axiomatique de la théorie est le résultat de ces efforts. Suscitée princi· paiement par une réflexion sur la déduction géométrique, elle se dégage d'ailleurs, en raison précisément de son caractère logique et formel, du contenu géométrique, et elle peut ainsi être pratiquée sur une théorie déductive quelconque. Un système axiomatique - on dit aussi : une théorie axiomatisée ou, plus brièvement, une axio matique - est donc la forme achevée que prend, aujour d'hui, une théorie déductive. Non point ce système chimérique dont rêvait Pascal pour des esprits surhu mains, où l'on définirait tous les termes et démontrerait toutes les propositions, mais un système où soient tota lement explicités les termes non définis et les proposi tions non démontrées, ces dernières étant posées comme de simples hypothèses à partir desquelles toutes les pro positions du système peuvent se construire selon des règles logiques parfaitement et expressément fixées. Une méthode semble gratuite quand on ignore quelles raisons l'ont commandée. Pour faire comprendre la fonc tion de l'axiomatique, le mieux est donc d'exposer d'abord les insuffisances auxquelles elle se propose de porter remède (chap. I). Mais on se doute bien qu'elle-même n'a pas surgi parfaite d'un seul coup. Les exigences de rigueur qui l'avaient fait naître ont été à leur tour comme exaspérées par son usage, et ont rejailli sur elle pour la pousser toujours plus loin dans la voie où elle s'était engagée. Sans suivre ces transformations dans leur détail historique, il faudra du moins distinguer deux grandes étapes dans son développement, la première se situant 12 L'AXIOMATIQUE au tournant du siècle (chap. II), la seconde commençant vers 1920 ( chap. III). Enfin, on essaiera de montrer la portée d'une telle méthode, tant par son usage propre ment scientifique ( chap. IV) que par ses implications philosophiques ( chap. V). § 2. LES POSTULATS. - La première chose qui ait tourmenté les lecteurs d'Euclide amis de la rigueur, c'est l'intervention des postulats. Ce qui a d'abord gêné, ce n'étaient pas proprement les trois postulats qui figu rent en tête des Éléments, à côté des définitions et des axiomes, et qui ont un caractère opératoire très général, visant seulement à annoncer qu'on se permettra uploads/Philosophie/ robert-blanche-laxiomatique.pdf