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Chapitre 6 : Variable aléatoire réelle absolument continue 1. Définition et exe

Chapitre 6 : Variable aléatoire réelle absolument continue 1. Définition et exemple d’un variable aléatoire réelle absolument continue 1.1. Définition Toute variable aléatoire réelle dont la fonction de répartition est continue sur R et dérivable sauf éventuellement sur un nombre fini de points est appelée variable aléatoire réelle absolument continue. Exemple : Soit X une variable aléatoire réelle dont la fonction de répartition est la suivante : F est continue sur R et dérivable sur ). X est donc une variable réelle aléatoire absolument continue. La densité de probabilité d’une variable aléatoire réelle absolument continue est la fonction f dérivée de la fonction de répartition F. Une variable aléatoire réelle absolument continue est aussi appelée variable aléatoire à densité. Exemple : Remarque : Etant donné la fonction de répartition F d’une variable aléatoire réelle absolument continue, sa densité de probabilité f est obtenue par dérivation : Δ représente un nombre fini de points où F n’est pas dérivable Etant donné la densité de probabilité d’une variable aléatoire réelle absolument continue, sa fonction de répartition est la primitive de f telle que : La fonction de répartition F étant croissante : www.academie-gestion.com © Tous droits réservés. La densité de probabilité d’une variable aléatoire réelle absolument continue vérifie : 1.2. Théorème Pour toute fonction : les conditions d’application des densités de probabilité sont les suivantes : Ces deux conditions sont les conditions d’application des densités de probabilité 1.3. Proposition Soit X une variable aléatoire réelle absolument continue et F sa densité de probabilité, alors : Preuve : Corollaire 1 : Soit X une variable aléatoire réelle absolument continue, alors Preuve : Or F est continue car www.academie-gestion.com © Tous droits réservés. Corollaire 2 : 2. Moments d’une variable aléatoire absolument continue 2.1. Définition 2.1.1. Espérance mathématique Soit X une variable aléatoire absolument continue et soit f sa densité de probabilité on appelle espérance mathématique de X et on note E(X) la quantité suivante, si elle existe : 2.1.2. Propositions Soit X une VARAC et soit alors : On doit cette proposition à : 1. La probabilité de linéarité de l’espérance 2. La constance de l’espérance 2.2. Moments simples d’ordre k Soit X une VARAC, on appelle moment simple d’ordre k de X l’espérance mathématique de , si elle existe : 2.3. Variance et écart type 2.3.1. Définition Soit X une VARAC, on appelle variance de X : Remarque: Proposition: Soit X une VARAC, on a www.academie-gestion.com © Tous droits réservés. Preuve : 2.3.2. Propositions () Soit X une VARAC et soient alors : 2.3.3 Ecart type On appelle écart type d’une VARAC, la quantité suivante, si elle existe : 3. Inégalité de Markov et de Bienaymé-Tchebytchev 1. Inégalité de Markov 1.1. Théorème Soit X une VARAC non négative avec , alors : 2. Inégalité de Bienaymé-Tchebytchev Soit X une VARAC admettant une espérance mathématique et une variance telle que, et , on a : www.academie-gestion.com © Tous droits réservés. uploads/Philosophie/ statistique-6-varac-437-pdf.pdf